Båge (projektiv geometri)

De röda punkterna är en 4-båge i Fano-planet , det projektiva planet av ordning 2.

En ( enkel ) båge i ändlig projektiv geometri är en uppsättning punkter som på ett intuitivt sätt tillfredsställer en egenskap hos krökta figurer i kontinuerliga geometrier . Löst sett är de uppsättningar av punkter som är långt ifrån "linjeliknande" i ett plan eller långt ifrån "planliknande" i ett tredimensionellt utrymme. I denna finita inställning är det typiskt att inkludera antalet punkter i mängden i namnet, så dessa enkla bågar kallas $k$ - bågar . En viktig generalisering av $k$ -båge, även kallat bågar i litteraturen, är ( $k, d$ )-bågarna.

$k$ -bågar i ett projektivt plan

I ett ändligt projektivt plan $π$ (inte nödvändigtvis Desarguesian ) kallas en mängd $A$ med $k (k \geq 3)$ punkter så att inga tre punkter i $A$ är kolinjära (på en linje) en $k -båge$ . Om planet $π$ har ordningen $q$ så är $k \leq q + 2$ , dock kan det maximala värdet på $k$ endast uppnås om $q$ är jämnt. I ett plan av ordning $q$ kallas en $(q + 1) -båge en$ oval och, om $q$ är jämn, kallas en $(q + 2) -båge en$ hyperoval .

Varje kägel i det desarguesiska projektiva planet PG(2, $q$ ), dvs. mängden nollor i en irreducerbar homogen andragradsekvation, är en oval. Ett hyllat resultat av Beniamino Segre säger att när $q$ är udda, är varje $(q + 1)$ -båge i PG(2, $q$ ) en konisk ( Segres sats ). Detta är ett av de banbrytande resultaten inom finit geometri .

Om $q$ är jämn och $A$ är en $(q + 1)$ -båge i $π$ , så kan det visas via kombinatoriska argument att det måste finnas en unik punkt i $π$ (kallad kärnan av $A$ ) så att föreningen av $A$ och denna punkten är en ( $q$ + 2)-båge. Således kan varje oval unikt förlängas till en hyperoval i ett ändligt projektivt plan av jämn ordning.

En $k$ -båge som inte kan förlängas till en större båge kallas en hel båge . I desarguesiska projektiva planen, PG(2, $q$ ), är ingen $q$ -båge komplett, så de kan alla utökas till ovaler.

$k$ -bågar i ett projektivt utrymme

I det finita projektiva rummet PG( $n, q$ ) med $n \geq 3$ kallas en mängd $A$ med $k \geq n + 1$ punkter så att inga $n + 1$ punkter ligger i ett gemensamt hyperplan en (spatial) $k$ - båge . Denna definition generaliserar definitionen av en $k$ -båge i ett plan (där $n = 2$ ).

( $k, d$ )-bågar i ett projektivt plan

En ( $k, d$ ) -båge ( $k, d > 1$ ) i ett ändligt projektivt plan $π$ (inte nödvändigtvis Desarguesian ) är en mängd, $A$ med $k$ punkter av $π$ så att varje linje skär $A$ i högst $d$ punkter, och där är minst en linje som skär $A$ i $d$ -punkter. En ( $k, 2$ )-båge är en $k$ -båge och kan hänvisas till som helt enkelt en båge om storleken inte är ett problem.

Antalet punkter $k$ i en ( $k, d$ )-båge $A$ i ett projektivt plan av ordningen $q$ är som mest $qd + d - q$ . När likhet uppstår, kallar man $A för$ en maximal båge .

Hyperovaler är maximala bågar. Kompletta bågar behöver inte vara maximala bågar.

Se även

Normal rationell kurva

Anteckningar

Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
Hirschfeld, JWP (1979), Projective Geometries over Finite Fields , New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0

externa länkar

CM O'Keefe (2001) [1994], "Arc" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press