Ovoid (projektiv geometri)

Den här artikeln handlar om den geometriska figuren eller formen. För arten av svamp, se Psilocybe ovoideocystidiata .

Till definitionen av en äggformad: t tangent, s sekantlinje

I projektiv geometri är en ovoid en sfärliknande spets (yta) i ett projektivt utrymme med dimensionen d ≥ 3 . Enkla exempel i ett verkligt projektivt utrymme är hypersfärer ( quadrics ). De väsentliga geometriska egenskaperna hos en äggformad ${\mathcal {O}}$ är:

1. Vilken linje som helst skär ${\mathcal {O}}$ i högst 2 punkter,
2. Tangenterna vid en punkt täcker ett hyperplan (och inget mer), och
3. ${\mathcal {O}}$ innehåller inga linjer.

Egenskap 2) exkluderar degenererade fall (kottar,...). Egenskap 3) exkluderar strukna ytor (hyperboloider av ett ark, ...).

En äggformad är den rumsliga analogen av en oval i ett projektivt plan.

En äggformad är en speciell typ av kvadratisk uppsättning .

Ovoider spelar en viktig roll för att konstruera exempel på Möbius-plan och högre dimensionella Möbius-geometrier.

Definition av en äggformad

• I ett projektivt utrymme med dimensionen d ≥ 3 kallas en uppsättning ${\displaystyle {\mathcal {O}}} punkter en$ ovoid , om

(1) Vilken linje g som helst möter ${\mathcal {O}}$ på högst 2 poäng.

I fallet med $|g\cap {\mathcal {O}}|=0$ , linjen kallas en passerande (eller yttre ) linje , om $|g\cap {\mathcal {O}}|=1$ linjen är en tangentlinje , och om $|g\cap {\mathcal {O}}|=2$ linjen är en sekantlinje .

(2) Vid vilken punkt som helst ${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}} täcker$ tangentlinjerna genom P ett hyperplan, tangenthyperplanet , (dvs. ett projektivt delrum med dimensionen d − 1 ).

(3) ${\mathcal {O}}$ innehåller inga linjer.

Ur hyperplansektionernas synvinkel är en äggformad ett ganska homogent föremål, eftersom

• För en äggformad ${\mathcal {O}}$ och ett hyperplan $\varepsilon$ , som innehåller minst två punkter av ${\mathcal {O}}$ , är delmängden $\varepsilon \cap {\mathcal {O}}$ är en äggformad (eller en oval, om d = 3 ) inom hyperplanet $\varepsilon$ .

För ändliga projektiva utrymmen med dimensionen d ≥ 3 (dvs. punktmängden är ändlig, utrymmet är pappiskt), är följande resultat sant:

• Om ${\mathcal {O}}$ är en äggformad i ett ändligt projektivt utrymme med dimensionen d ≥ 3 , då är d = 3 .

(I det ändliga fallet existerar äggformar endast i 3-dimensionella rum.)

• I ett ändligt projektivt utrymme av ordningen n >2 (dvs vilken linje som helst innehåller exakt n + 1 punkter) och dimensionen d = 3 valfri punktuppsättning ${\ mathcal {O}}$ är en äggformad om och endast om $|{\mathcal {O}}|=n^{2}+1$ och inga tre punkter är kolinjära (på en gemensam linje).

Genom att ersätta ordet projektiv i definitionen av en äggformad med affin , ger definitionen av en affin äggform .

Om det för en (projektiv) äggformad det finns ett lämpligt hyperplan $\varepsilon$ som inte skär det, kan man kalla detta hyperplan för hyperplanet $\varepsilon _{\infty }$ i oändligheten och äggformen blir en affin äggformad i det affina utrymmet som motsvarar $\varepsilon _{\infty }$ . Dessutom kan vilken affin äggform som helst betraktas som en projektiv äggform i den projektiva stängningen (tillfogar ett hyperplan i oändligheten) av det affina rummet.

Exempel

I verkligt projektivt utrymme (inhomogen representation)

1. ${\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} } ^{d}\;|\;x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2}=1\}\ ,$ (hypersfär)
2. ${\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_ {d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|x_{d}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{d-1}^{2}\;\ }\;\cup \;\{{\text{punkt i oändligheten av }}x_{d}{\text{-axeln}}\}$

Dessa två exempel är kvadratiska och är projektivt likvärdiga.

Enkla exempel, som inte är kvadratiska, kan erhållas genom följande konstruktioner:

(a) Limma ena halvan av en hypersfär till en lämplig hyperellipsoid på ett smidigt sätt.

(b) I de två första exemplen ersätt uttrycket x ₁ ² med x ₁ ⁴ .

Anmärkning: De verkliga exemplen kan inte konverteras till det komplexa fallet (projektivt utrymme över ${\displaystyle {\mathbb {C} }} )$ . I ett komplext projektivt utrymme med dimensionen d ≥ 3 finns det inga ovoidala kvadriker, eftersom i så fall varje icke degenererad kvadris innehåller linjer.

Men följande metod garanterar många icke-kvadriska äggformar:

• För varje icke-ändligt projektivt utrymme kan förekomsten av äggformar bevisas med hjälp av transfinit induktion .

Finita exempel

• Varje äggformad ${\mathcal {O}}$ i ett ändligt projektivt utrymme med dimensionen d = 3 över ett fält K med karakteristiken ≠ 2 är en kvadrisk .

Det sista resultatet kan inte utökas till ens karaktäristiskt, på grund av följande icke-kvadriska exempel:

• För $K=GF(2^{m}),\;m$ udda och $\sigma$ automorfismen $x\mapsto x^{(2^{\frac {m+1}{2}})}\;,$

poängsatsen

${\mathcal {O}}=\{(x,y,z)\in K^{3 }\;|\;z=xy+x^{2}x^{\sigma }+y^{\sigma }\}\;\cup \;\{{\text{oändlighetspunkten för }}z {\text{-axeln}}\}$ är en äggformad i det 3-dimensionella projektiva rummet över K (representerad i inhomogena koordinater).

Endast när m = 1 är den äggformade ${\mathcal {O}}$ en kvadratisk.

${\mathcal {O}}$ kallas bröst-Suzuki-ovoid .

Kriterier för att en äggformad ska vara en quadric

En ovoidal quadric har många symmetrier. Särskilt:

• Låt oss vara ${\mathcal {O}}$ en ovoid i ett projektivt utrymme ${\mathfrak {P}}$ med dimensionen d ≥ 3 och $\varepsilon$ ett hyperplan. Om äggformen är symmetrisk till någon punkt ${\displaystyle P\in \varepsilon \setminus {\mathcal {O}}} ($ dvs det finns en ofrivillig perspektiv med mitten $P$ som lämnar ${ \displaystyle {\mathcal {O}}}$ invariant), då är ${\mathfrak {P}}$ pappian och ${\mathcal {O}}$ en kvadrisk.
• En äggformad ${\mathcal {O}}$ i ett projektivt utrymme ${\mathfrak {P}}$ är en kvadrisk, om gruppen av projektiviteter, som lämnar ${\mathcal { O}}$ invariant fungerar 3-transitivt på ${\mathcal {O}}$ , dvs för två trippel $A_{1 },A_{2},A_{3},\;B_{1},B_{2},B_{3}$ det finns en projektivitet $\pi$ med $\pi (A_{i})=B_{i},\;i=1,2,3$ .

I det finita fallet får man från Segres sats :

• Låt vara ${\mathcal {O}}$ en äggformad i ett ändligt 3-dimensionellt desarguesiskt projektivt utrymme ${\mathfrak {P}}$ av udda ordning, sedan ${\mathfrak { P}}$ är pappian och ${\mathcal {O}}$ är en quadric.

Generalisering: halväggformad

Att ta bort tillstånd (1) från definitionen av en äggformad resulterar i definitionen av en halväggformad :

En punktuppsättning ${\mathcal {O}}$ i ett projektivt utrymme kallas en halväggformig om

följande villkor gäller:

(SO1) För valfri punkt ${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}} täcker$ tangenterna genom punkt $P$ exakt ett hyperplan.

(SO2) ${\mathcal {O}}$ innehåller inga linjer.

En semi-ovoid är en speciell semi-kvadratisk mängd som är en generalisering av en kvadratisk mängd . Den väsentliga skillnaden mellan en semi-kvadratisk mängd och en kvadratisk mängd är det faktum att det kan finnas linjer som har 3 punkter gemensamma med mängden och att linjerna inte ingår i mängden.

Exempel på halväggformade är uppsättningarna av isotropa punkter av en hermitisk form . De kallas hermitiska quadrics .

När det gäller äggkroppar i litteraturen finns det kriterier som gör en halväggformad till en hermitisk kvadrisk. Se till exempel.

Halväggformar används vid konstruktionen av exempel på Möbius geometrier.

Se även

• Ovoid (polärt rymd)
• Möbius plan

Anteckningar

•    Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275

Vidare läsning

• Barlotti, A. (1955), "Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo", Boll. Fn. Matta. Ital. , 10 :96–98
•   Hirschfeld, JWP (1985), Finite Projective Spaces of Three Dimensions , New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8
• Panella, G. (1955), "Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito", Boll. Fn. Matta. Ital. , 10 : 507-513

externa länkar

• E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- och Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 121-123.