Kvadratisk set

I matematik är en kvadratisk uppsättning en uppsättning punkter i ett projektivt utrymme som har samma väsentliga infallsegenskaper som en kvadratisk ( konisk sektion i ett projektivt plan, sfär eller kon eller hyperboloid i ett projektivt utrymme).

Definition av en kvadratisk mängd

Låt ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}},\in )} vara$ ett projektivt rum. En kvadratisk mängd är en icke-tom delmängd ${\mathcal {Q}}$ av ${\mathcal {P}}$ för vilken följande två villkor gäller:

(QS1) Varje rad $g$ i ${\mathcal {G}}$ skär ${\mathcal {Q}}$ i högst två punkter eller ingår i ${\mathcal {Q}}$ .

( $g$ kallas exteriör till ${\mathcal {Q}}$ om $|g\cap {\mathcal {Q}}|=0$ , tangent till ${\mathcal {Q}}$ om antingen $|g\cap {\mathcal {Q}}|=1$ eller $g \cap {\mathcal {Q}}=g$ , och sekantera till ${\mathcal {Q}}$ om $|g\cap {\mathcal {Q}} |=2$ .)

(QS2) För varje punkt ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}} är$ föreningen ${\mathcal {Q}}_{P}$ av alla tangentlinjer genom $P$ är ett hyperplan eller hela rymden ${\mathcal {P}}$ .

En kvadratisk mängd ${\mathcal {Q}}$ kallas icke-degenererad om för varje punkt $P\in {\mathcal {Q}}$ , mängden ${ \mathcal {Q}}_{P}$ är ett hyperplan.

Ett Pappianskt projektivrum är ett projektivt rum där Pappus hexagonsats gäller.

Följande resultat, på grund av Francis Buekenhout , är ett häpnadsväckande uttalande för ändliga projektiva rum.

Sats: Låt vara ${\mathfrak {P}}_{n}$ ett ändligt projektivt utrymme med dimension $n\geq 3$ och ${\mathcal {Q}}$ en icke-degenererad kvadratisk mängd som innehåller linjer. Sedan: ${\mathfrak {P}}_{n}$ är Pappian och ${\mathcal {Q}}$ är en kvadrik med index $\geq 2$ .

Definition av en oval och en äggformad

Ovaler och ovoider är speciella kvadratiska mängder: Låt ${\mathfrak {P}}$ vara ett projektivt utrymme med dimension $\geq 2$ . En icke-degenererad kvadratisk mängd ${\mathcal {O}}$ som inte innehåller linjer kallas ovoid (eller oval i plan fall).

Följande ekvivalenta definition av en oval/ovoid är vanligare:

Definition: (oval) En icke-tom punktuppsättning ${\mathfrak {o}}$ av ett projektivt plan kallas oval om följande egenskaper är uppfyllda:

(o1) Vilken linje som helst möter ${\mathfrak {o}}$ i högst två punkter.

( o2) För vilken punkt ${\displaystyle P} som helst$ i ${\mathfrak {o}}$ finns det en och bara en rad $g$ så att $g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}$ .

En linje $g$ är en yttre eller tangent- eller sekantlinje för ovalen om $|g\cap {\mathfrak {o}}|=0$ eller $|g\cap {\mathfrak {o}}|=1$ eller $|g\cap {\mathfrak {o}}|=2$ respektive.

För ändliga plan ger följande teorem en enklare definition.

Sats: (oval i ändligt plan) Låta vara ${\mathfrak {P}}$ ett projektivt plan av ordningen $n$ . En uppsättning ${\mathfrak {o}}$ punkter är en oval om $|{\mathfrak {o}}|=n+1$ och om inga tre punkter på ${\mathfrak {o}}$ är kolinjära.

Enligt denna sats av Beniamino Segre , för pappaska projektiva plan av udda ordning är ovalarna bara koniska:

Sats: Låt vara ${\mathfrak {P}}$ ett pappaskt projektivt plan av udda ordning. Vilken oval som helst i ${\mathfrak {P}}$ är en oval konisk (icke-degenererad quadric ).

Definition: (äggformad) En icke-tom punktuppsättning ${\mathcal {O}}$ i ett projektivt utrymme kallas ovoid om följande egenskaper är uppfyllda:

(O1) Vilken linje som helst möter ${\mathcal {O}}$ i högst två punkter.

( $g$ kallas exteriör-, tangent- och sekantlinje om $|g\cap {\mathcal {O}}|=0,\ | g\cap {\mathcal {O}}|=1$ respektive $|g\cap {\mathcal {O}}|=2$ .)

(O2) För valfri punkt $P\in {\mathcal {O}}$ föreningen ${\mathcal {O}}_{P}$ av alla tangentlinjer genom $P$ är ett hyperplan ( tangentplan vid $P$ ).

Exempel:

a) Vilken sfär som helst (kvadrisk av index 1) är äggformad.

b) I fallet med verkliga projektiva utrymmen kan man konstruera äggformar genom att kombinera halvor av lämpliga ellipsoider så att de inte är kvadratiska.

För ändliga projektiva rum med dimension $n$ över ett fält $K$ har vi: Sats:

a) Vid $|K|<\infty$ en ovoid i ${\mathfrak {P}}_{n}(K)$ existerar endast om $n=2$ eller $n=3$ .

b) Vid $|K|<\infty ,\ \operatorname {char} K\neq 2$ en äggformad i ${\mathfrak {P}}_{n }(K)$ är en quadric.

Motexempel (Tits–Suzuki ovoid) visar att ig-satsen b) i satsen ovan inte är sant för $\operatorname {char} K=2$ :

•   Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry: from foundations to applications , Kapitel 4: Quadratic Sets, sidorna 137 till 179, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
•   F. Buekenhout (red.) (1995) Handbook of Incident Geometry , Elsevier ISBN 0-444-88355-X
•   P. Dembowski (1968) Finite Geometries , Springer-Verlag ISBN 3-540-61786-8 , sid. 48

externa länkar

• Eric Hartmann Föreläsningsanteckning Planar Circle Geometries, en introduktion till Moebius-, Laguerre- och Minkowski-plan, från Technische Universität Darmstadt