Qvists sats

Qvists sats om ändliga ovaler

Inom projektiv geometri är Qvists teorem , uppkallad efter den finske matematikern Bertil Qvist [ de ] , ett påstående om ovaler i ändliga projektiva plan . Standardexempel på ovaler är icke-degenererade (projektiva) koniska sektioner . Satsen ger svar på frågan Hur många tangenter till en oval kan passera genom en punkt i ett ändligt projektivt plan? Svaret beror i huvudsak på ordningen (antal punkter på en linje −1) av planet.

Definition av en oval

I ett projektivt plan kallas en uppsättning $Ω av punkter en$ oval , om:

Varje linje $l$ möter $Ω$ i högst två punkter, och
För varje punkt $P \in Ω$ finns det exakt en tangentlinje $t$ genom $P$ , dvs $t \cap Ω = {P$ }.

För ändliga plan (dvs. uppsättningen punkter är ändlig) har vi en mer bekväm karakterisering:

För ett ändligt projektivt plan av ordningen $n$ (dvs. vilken linje som helst innehåller $n + 1$ punkter) är en uppsättning $Ω$ av punkter en oval om och endast om $| Ω | = n + 1$ och inga tre punkter är kolinjära (på en gemensam linje).

Påstående och bevis för Qvists sats

Qvists sats

Låt $Ω$ vara en oval i ett ändligt projektivt plan av ordningen $n$ .

(a) Om

n

är udda ,

infaller varje punkt

P \notin Ω med 0 eller 2 tangenter.

(b) Om

n

är jämn ,

finns det en punkt

N

,

kärnan eller knuten , så att uppsättningen tangenter till ovalen

Ω

är pennan för alla linjer genom N .

Qvists sats: till beviset vid n udda

Qvists sats: till beviset i fallet med n jämn

Bevis

(a) Låt $t R$ vara tangenten till $Ω$ i punkt $R$ och låt $P 1, ... , P n$ vara de återstående punkterna på denna linje. För varje $i delar$ linjerna genom $Pi upp$ Ω $i$ uppsättningar av kardinalitet 2 eller 1 eller 0. Eftersom talet $| Ω | = n + 1$ är jämnt, för varje punkt $Pi måste$ det finnas minst en tangent till genom den punkten. Det totala antalet tangenter är $n + 1$ , därför finns det exakt två tangenter genom varje $Pi .$ , $t R$ och en annan Således, för vilken punkt $P som helst$ som inte är i oval $Ω$ , om $P$ är på någon tangent till $Ω$ är den på exakt två tangenter.

(b) Låt $s$ vara en sekant, $0 s \cap Ω = {P, P 1$ } och $0 s = {P, P 1,..., P n$ }. Eftersom $| Ω | = n + 1$ är udda, genom valfri $P i, i = 2,...,n$ , det passerar åtminstone en tangent $t i$ . Det totala antalet tangenter är $n + 1$ . Genom valfri punkt $Pi för$ i $= 2,..., n$ finns det alltså exakt en tangent. Om $N$ är skärningspunkten för två tangenter, kan ingen sekant passera genom $N$ . Eftersom $n + 1$ , antalet tangenter, också är antalet linjer genom vilken punkt som helst, är varje linje genom $N$ en tangent.

Exempel i ett pappianskt plan av jämn ordning

Använda inhomogena koordinater över ett fält $K, | K | = n$ jämn, uppsättningen

Ω 1 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(\infty)

},

den projektiva stängningen av parabeln $y = x 2$ , är en oval med punkten $N = (0)$ som kärna (se bild), dvs varje linje $y = c$ , med $c \in K$ , är en tangent.

Definition och egenskap hos hyperovaler

Varje oval $Ω$ i ett ändligt projektivt plan av jämn ordning $n$ har en kärna $N$ .

Punktmängden

Ω := Ω \cup {N

} kallas en hyperoval eller (

n + 2

) -båge . (En finit oval är en (

n + 1

) -båge .)

Man kontrollerar enkelt följande väsentliga egenskap hos en hyperoval:

För en hyperoval $Ω$ och en punkt $R \in Ω är$ punktmängden $Ω \ { R$ } en oval.

projektiv konisk sektion

Ω 1

Denna egenskap tillhandahåller ett enkelt sätt att konstruera ytterligare ovaler från en given oval.

Exempel

För ett projektivt plan över ett ändligt fält $K, | K | = n$ jämn och $n > 4$ , mängden

Ω 1 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(\infty)

} är en oval (konisk sektion) (se bild),

Ω 1 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(0), (\infty)

} är en hyperoval och

Ω 2 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(0)

} är en annan oval som inte är en konisk sektion. (Kom ihåg att en konisk sektion bestäms unikt av 5 punkter.)

Anteckningar

Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / from foundations to applications , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275

externa länkar

E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- och Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), sid. 40.