Gaussisk rationell

Inom matematiken är ett Gaussiskt rationellt tal ett komplext tal av formen p + qi , där p och q båda är rationella tal . Mängden av alla Gaussiska rationaler bildar det Gaussiska rationalfältet , betecknat Q ( i ), som erhålls genom att det imaginära talet i ansluts till rationalfältet.

Fältets egenskaper

Fältet av Gaussiska rationaler ger ett exempel på ett algebraiskt talfält , som är både ett kvadratiskt fält och ett cyklotomiskt fält (eftersom i är en 4:e rot av enhet ). Liksom alla andragradsfält är det en Galois-förlängning av Q med Galois-gruppcyklisk av ordning två, i detta fall genererad av komplex konjugering , och är således en abelsk förlängning av Q , med ledare 4.

Som med cyklotomiska fält mer allmänt, är fältet för Gaussiska rationals varken ordnat eller komplett (som ett metriskt utrymme). Gaussheltalen Z [ i ] bildar ringen av heltal för Q ( i ) . Uppsättningen av alla Gaussiska rationaler är countably oändlig .

Ford sfärer

Begreppet Ford-cirklar kan generaliseras från de rationella talen till de Gaussiska rationalerna, vilket ger Ford-sfärer. I denna konstruktion är de komplexa talen inbäddade som ett plan i ett tredimensionellt euklidiskt utrymme , och för varje Gaussisk rationell punkt i detta plan konstruerar man en sfär som tangerar planet vid den punkten. För en Gaussisk rationell representerad i lägsta termer som $p/q$ , bör radien för denna sfär vara $1/q{\bar {q}}$ där ${ \displaystyle {\bar {q}}}$ representerar den komplexa konjugatet av $q$ . De resulterande sfärerna är tangent för par av Gaussiska rationaler $P/Q$ och $p/q$ med $|Pq-pQ|=1$ , och annars skär de inte varandra.