Extrema ordningsföljder av en aritmetisk funktion

Inom matematiken , särskilt i talteorin , är extremordningarna för en aritmetisk funktion bästa möjliga gränser för den givna aritmetiska funktionen . Specifikt, om f ( n ) är en aritmetisk funktion och m ( n ) är en icke-minskande funktion som i slutändan är positiv och

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{m(n)}}=1$

vi säger att m är en minimal ordning för f . På samma sätt om M ( n ) är en icke-minskande funktion som i slutändan är positiv och

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{M(n)}}=1$

vi säger att M är en maximal ordning för f . Här $\liminf _{n\to \infty }$ och $\limsup _{n\to \infty }$ gränsen inferior respektive limit superior . .

Ämnet studerades först systematiskt av Ramanujan med början 1915.

Exempel

• För summa-av-divisorfunktionen σ( n ) har vi trivialresultatet
  $$\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}=1$$
  eftersom alltid σ( n ) ≥ n och för primtal σ( p ) = p + 1. Vi har också
  $$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n} }=e^{\gamma },$$
  bevisad av Gronwall 1913. Därför är n en minimal ordning och e ^−γ n ln ln n är en maximal ordning för σ( n ).
• För Euler-toienten φ( n ) har vi det triviala resultatet
  $$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)}{n}}=1$$
  eftersom alltid φ( n ) ≤ n och för primtal φ( p ) = p − 1. Vi har också
  $$\liminf _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)\ln \ln n}{n }}=e^{-\gamma },$$
  bevisad av Landau 1903.
• För antalet divisorfunktion d ( n ) har vi den triviala nedre gränsen 2 ≤ d ( n ), där likhet uppstår när n är primtal, så 2 är en minimal ordning. För ln d ( n ) har vi en maximal ordning ln 2 ln n / ln ln n , bevisad av Wigert 1907.
• För antalet distinkta primtalsfaktorer ω( n ) har vi en trivial nedre gräns 1 ≤ ω( n ), där likhet uppstår när n är en primpotens . En maximal ordning för ω( n ) är ln n / ln ln n .
• För antalet primtalsfaktorer räknade med multiplicitet Ω( n ) har vi en trivial nedre gräns 1 ≤ Ω( n ), där likhet uppstår när n är primtal. En maximal ordning för Ω( n ) är ln n / ln 2
• Det antas att Mertens-funktionen , eller summatorisk funktion av Möbius-funktionen , uppfyller ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|M(x)|}{\sqrt {x}}}=+\infty ,} även om denna gräns överlägsen hittills$ har endast visat sig vara större än en liten konstant. Detta uttalande jämförs med motbevisningen av Mertens gissningar som Odlyzko och te Riele gav i deras flera decennier gamla genombrottsuppsats Disproof of the Mertens Conjecture . Däremot noterar vi att även om omfattande beräkningsbevis tyder på att ovanstående gissning är sann, dvs längs någon ökande sekvens av $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ tenderar till oändligt medelordningen av ${\sqrt {x_{n}}}|M(x_{n})|$ växer obegränsat, att Riemanns hypotes är ekvivalent med gränsen ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }M(x)/x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }=0} är sant$ för alla (tillräckligt små) ${\ displaystyle \varepsilon >0}$ .

Se även

• Genomsnittlig ordning för en aritmetisk funktion
• Normal ordning för en aritmetisk funktion

Vidare läsning

•   Nicolas, J.-L. (1988). "På mycket sammansatta siffror". I Andrews, GE ; Askey, RA ; Berndt, BC ; Ramanathan, KG (red.). Ramanujan återbesökt . Akademisk press. s. 215–244 . ISBN 978-0-12-058560-1 . En översikt över extrema ordnar, med en omfattande bibliografi.