Kurosh undergruppssats

Inom det matematiska området gruppteori beskriver Kurosh undergruppssats den algebraiska strukturen av undergrupper av fria produkter av grupper . Satsen erhölls av Alexander Kurosh , en rysk matematiker, 1934. Informellt säger satsen att varje undergrupp av en fri produkt i sig är en fri produkt av en fri grupp och av dess skärningspunkter med konjugaten av faktorerna för den ursprungliga fria produkten. produkt.

Historia och generaliseringar

Efter det ursprungliga beviset på Kurosh från 1934 fanns det många efterföljande bevis på Kurosh-undergruppssatsen, inklusive bevis från Harold W. Kuhn (1952), Saunders Mac Lane (1958) och andra. Teoremet generaliserades också för att beskriva undergrupper av sammanslagna gratisprodukter och HNN-tillägg . Andra generaliseringar inkluderar övervägande av undergrupper av fria profinita produkter och en version av Kurosh-undergruppssatsen för topologiska grupper .

I moderna termer är Kurosh-undergruppssatsen en enkel följd av de grundläggande strukturella resultaten av Bass-Serre-teorin om grupper som verkar på träd .

Uttalande av satsen

Låt $G=A*B$ vara den fria produkten av grupperna A och B och låt $H\leq G$ vara en undergrupp till G . Sedan finns det en familj $(A_{i})_{i\in I}$ av undergrupper $A_{i}\leq A$ , en familj $(B_{j})_{j\in J}$ av undergrupper $B_{j}\leq B$ , familjer ${\ displaystyle g_{i},i\in I}$ och $f_{j},j\in J$ av element i G , och en delmängd $X\subseteq G$ Så att

H=F(X)*(*_{i\in I}g_{i}A_{i}g_{i}^{-1})*(*_{j\in J}f_{j }B_{j}f_{j}^{-1}).

Detta innebär att X fritt genererar en undergrupp av G isomorf till den fria gruppen F ( X ) med fri bas X och att dessutom g _i A _i g _i⁻¹ , f _j B _j f _j⁻¹ och X genererar H i G som en gratis produkt av ovanstående form.

Det finns en generalisering av detta till fallet med gratisprodukter med godtyckligt många faktorer. Dess formulering är:

Om H är en undergrupp av ∗ _i∈I G _i = G , då

H=F(X)*(*_{j\in J}g_{j}H_{j}g_ {j}^{-1}),

där X ⊆ G och J är någon indexmängd och g _j ∈ G och varje H _j är en undergrupp av någon G _i .

Bevis med Bass-Serre-teori

Kurosh-undergruppssatsen följer lätt av de grundläggande strukturella resultaten i Bass-Serre-teorin , som förklaras, till exempel i Cohens bok (1987):

Låt G = A ∗ B och betrakta G som grundgruppen i en graf av grupperna Y som består av en enda icke-slingkant med vertexgrupperna A och B och med den triviala kantgruppen. Låt X vara det universella täckningsträdet för Bass–Serre för grafen för grupperna Y . Eftersom H ≤ G också verkar på X , betrakta kvotgrafen för grupperna Z för verkan av H på X. Toppgrupperna i Z är undergrupper av G -stabilisatorer av hörn av X , det vill säga de är konjugerade i G till undergrupper av A och B. Kantgrupperna för Z är triviala eftersom G -stabilisatorerna för kanterna på X var triviala. Enligt grundsatsen i Bass-Serre-teorin H kanoniskt isomorft till grundgruppen i grafen för grupperna Z . Eftersom kantgrupperna för Z är triviala, följer det att H är lika med den fria produkten av vertexgrupperna i Z och den fria gruppen F ( X ) som är den fundamentala gruppen (i standard topologisk mening) i den underliggande grafen Z av Z. _ Detta innebär slutsatsen av Kurosh undergruppssatsen.

Förlängning

Resultatet sträcker sig till fallet att G är den amalgamerade produkten längs en gemensam undergrupp C , under förutsättning att H möter varje konjugat av C endast i identitetselementet.

Se även