Nätverkssyntes

Nätverkssyntes är en designteknik för linjära elektriska kretsar . Syntes utgår från en föreskriven impedansfunktion av frekvens eller frekvenssvar och bestämmer sedan de möjliga nätverk som kommer att producera det erforderliga svaret. Tekniken ska jämföras med nätverksanalys där responsen (eller annat beteende) för en given krets beräknas. Före nätverkssyntesen fanns endast nätverksanalys tillgänglig, men detta kräver att man redan vet vilken form av krets som ska analyseras. Det finns ingen garanti för att den valda kretsen kommer att vara den närmaste möjliga matchningen till det önskade svaret, och inte heller att kretsen är den enklaste möjliga. Nätverkssyntes tar direkt upp båda dessa frågor. Nätverkssyntes har historiskt handlat om att syntetisera passiva nätverk, men är inte begränsad till sådana kretsar.

Fältet grundades av Wilhelm Cauer efter att ha läst Ronald M. Fosters 1924 papper A reaktanssats . Fosters teorem gav en metod för att syntetisera LC-kretsar med godtyckligt antal element genom en partiell bråkdelexpansion av impedansfunktionen. Cauer utökade Fosters metod till RC- och RL-kretsar , hittade nya syntesmetoder och metoder som kunde syntetisera en allmän RLC-krets . Andra viktiga framsteg före andra världskriget beror på Otto Brune och Sidney Darlington . På 1940-talet Raoul Bott och Richard Duffin en syntesteknik som inte krävde transformatorer i det allmänna fallet (vars eliminering hade bekymrat forskare under en tid). På 1950-talet lades mycket kraft på frågan om att minimera antalet element som krävs i en syntes, men med endast begränsad framgång. Lite gjordes på området fram till 2000-talet då frågan om minimering återigen blev ett aktivt forskningsområde, men från och med 2023 är det fortfarande ett olöst problem.

En primär tillämpning av nätverkssyntes är designen av nätverkssyntesfilter men detta är inte dess enda tillämpning. Bland annat finns impedansmatchande nätverk, tidsfördröjningsnätverk , riktningskopplare och utjämning . På 2000-talet började nätverkssyntes tillämpas på såväl mekaniska system som elektriska, särskilt i Formel 1- racing.

Översikt

Nätverkssyntes handlar om att designa ett elektriskt nätverk som beter sig på ett föreskrivet sätt utan någon förutfattning om nätverksformen. Vanligtvis krävs en impedans för att syntetiseras med hjälp av passiva komponenter. Det vill säga ett nätverk bestående av resistanser (R), induktanser (L) och kapacitanser (C). Sådana nätverk har alltid en impedans, betecknad $Z(s)$ , ​​i form av en rationell funktion av den komplexa frekvensvariabeln s . Det vill säga, impedansen är förhållandet mellan två polynom i s .

Det finns tre breda studieområden inom nätverkssyntes; approximera ett krav med en rationell funktion, syntetisera den funktionen till ett nätverk och bestämma ekvivalenter av det syntetiserade nätverket.

Approximation

Den idealiserade föreskrivna funktionen kommer sällan att kunna beskrivas exakt av polynom. Det är därför inte möjligt att syntetisera ett nätverk för att exakt reproducera det. Ett enkelt och vanligt exempel är tegelväggsfiltret . Detta är det ideala svaret för ett lågpassfilter, men dess styckvis kontinuerliga svar är omöjligt att representera med polynom på grund av diskontinuiteterna. För att övervinna denna svårighet hittas en rationell funktion som nära approximerar den föreskrivna funktionen med hjälp av approximationsteori . I allmänhet gäller att ju närmare approximationen krävs, desto högre grad av polynomet och desto fler element kommer att krävas i nätverket.

Det finns många polynom och funktioner som används i nätverkssyntes för detta ändamål. Valet beror på vilka parametrar för den föreskrivna funktionen som konstruktören vill optimera. En av de tidigaste som användes var Butterworth-polynom som resulterar i ett maximalt platt svar i passbandet. Ett vanligt val är Chebyshev-approximationen där designern specificerar hur mycket passbandsvaret kan avvika från idealet i utbyte mot förbättringar av andra parametrar. Andra uppskattningar är tillgängliga för att optimera tidsfördröjning, impedansmatchning , roll-off och många andra krav.

Insikt

Givet en rationell funktion är det vanligtvis nödvändigt att avgöra om funktionen är realiserbar som ett diskret passivt nätverk. Alla sådana nätverk beskrivs av en rationell funktion, men inte alla rationella funktioner är realiserbara som ett diskret passivt nätverk. Historiskt handlade nätverkssyntes uteslutande om sådana nätverk. Moderna aktiva komponenter har gjort denna begränsning mindre relevant i många applikationer, men vid de högre radiofrekvenserna är passiva nätverk fortfarande den teknik som valts. Det finns en enkel egenskap hos rationella funktioner som förutsäger om funktionen är realiserbar som ett passivt nätverk. När det väl har fastställts att en funktion är realiserbar finns ett antal algoritmer tillgängliga som kommer att syntetisera ett nätverk från den.

Likvärdighet

En nätverksförverkligande från en rationell funktion är inte unik. Samma funktion kan realisera många likvärdiga nätverk. Det är känt att affina transformationer av impedansmatrisen som bildas i mesh-analys av ett nätverk är alla impedansmatriser för ekvivalenta nätverk (mer information på Analogt filter § Realiserbarhet och ekvivalens ) . Andra impedanstransformationer är kända, men om det finns ytterligare ekvivalensklasser som återstår att upptäcka är en öppen fråga.

Ett stort forskningsområde inom nätverkssyntes har varit att hitta den realisering som använder det minsta antalet element. Denna fråga är inte helt löst för det allmänna fallet, men lösningar finns tillgängliga för många nätverk med praktiska tillämpningar.

Historia

Wilhelm Cauer

Området nätverkssyntes grundades av den tyske matematikern och vetenskapsmannen Wilhelm Cauer (1900–1945). Den första antydan till en teori kom från den amerikanske matematikern Ronald M. Foster (1896–1998) när han publicerade A reactance theorem 1924. Cauer insåg omedelbart vikten av detta arbete och började generalisera och utöka det. Hans avhandling 1926 handlade om "The realization of impedances of precibed frequency dependence" och är början på området. Cauers mest detaljerade arbete gjordes under andra världskriget , men han dödades kort före krigsslutet. Hans verk kunde inte publiceras i stor omfattning under kriget, och det var inte förrän 1958 som hans familj samlade in hans papper och publicerade dem för omvärlden. Under tiden hade framsteg gjorts i USA baserat på Cauers förkrigspublikationer och material som fångats under kriget.

Den engelske självlärd matematikern och vetenskapsmannen Oliver Heaviside (1850–1925) var den första som visade att impedansen för ett RLC-nätverk alltid var en rationell funktion av en frekvensoperatör, men tillhandahöll ingen metod för att realisera ett nätverk från en rationell funktion. Cauer fann en nödvändig förutsättning för att en rationell funktion skulle kunna realiseras som ett passivt nätverk. Sydafrikanen Otto Brune (1901–1982) myntade senare termen positiv-real funktion (PRF) för detta tillstånd. Cauer postulerade att PRF var ett nödvändigt och tillräckligt villkor men kunde inte bevisa det, och föreslog det som ett forskningsprojekt för Brune, som var hans doktorand i USA vid den tiden. Brune publicerade det saknade beviset i sin doktorsavhandling 1931 .

Raoul Bott

Fosters förverkligande var begränsat till LC-nätverk och var i en av två former; antingen ett antal serie -LC-kretsar i parallell, eller ett antal parallella LC-kretsar i serie. Fosters metod var att expandera $Z(s)$ till partiella bråk . Cauer visade att Fosters metod kunde utvidgas till RL- och RC-nätverk. Cauer hittade också en annan metod; expanderar $Z(s)$ som en fortsatt bråkdel vilket resulterar i ett stegnätverk , återigen i två möjliga former. I allmänhet kommer en PRF att representera ett RLC-nätverk; med alla tre typerna av element närvarande är insikten svårare. Både Cauer och Brune använde idealiska transformatorer i sina realiseringar av RLC-nätverk. Att behöva inkludera transformatorer är inte önskvärt i en praktisk implementering av en krets.

En realiseringsmetod som inte krävde transformatorer tillhandahölls 1949 av den ungersk-amerikanske matematikern Raoul Bott (1923–2005) och den amerikanske fysikern Richard Duffin (1909–1996). Bott och Duffin-metoden ger en utvidgning genom upprepad tillämpning av Richards sats , ett resultat från 1947 tack vare den amerikanske fysikern och tillämpade matematikern Paul I. Richards (1923–1978). De resulterande Bott-Duffin-nätverken har begränsad praktisk användning (åtminstone för rationella funktioner av hög grad ) eftersom antalet komponenter som krävs växer exponentiellt med graden. Ett antal varianter av den ursprungliga Bott-Duffin-metoden minskar alla antalet element i varje sektion från sex till fem, men fortfarande med exponentiellt växande totala antal. Uppsatser som uppnår detta inkluderar Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) och Fialkow & Gest (1955). Från och med 2010 har det inte skett några ytterligare betydande framsteg när det gäller att syntetisera rationella funktioner.

År 1939 visade den amerikanske elektroingenjören Sidney Darlington att vilken PRF som helst kan realiseras som ett tvåportsnätverk som endast består av L- och C-element och avslutas vid dess utgång med ett motstånd . Det vill säga att endast ett motstånd krävs i vilket nätverk som helst, de återstående komponenterna är förlustfria. Teoremet upptäcktes oberoende av både Cauer och Giovanni Cocci. Följdproblemet, att hitta en syntes av PRF:er med R- och C-element med endast en induktor, är ett olöst problem inom nätverksteorin. Ett annat olöst problem är att hitta ett bevis på Darlingtons gissning (1955) att vilken RC 2-port som helst med en gemensam terminal kan realiseras som ett serieparallellt nätverk. En viktig faktor i praktiska nätverk är att minimera antalet komponenter, särskilt de lindade komponenterna - induktorer och transformatorer. Trots stora ansträngningar för minimering har ingen allmän teori om minimering någonsin upptäckts som den har gjort för den booleska algebra av digitala kretsar .

Cauer använde elliptiska rationella funktioner för att producera approximationer till idealiska filter. Ett specialfall av elliptiska rationella funktioner är Chebyshev-polynomen på grund av Pafnuty Chebyshev (1821–1894) och är en viktig del av approximationsteorin . Chebyshev-polynom används ofta för att designa filter. År 1930 designade den brittiske fysikern Stephen Butterworth (1885–1958) Butterworth-filtret , även känt som det maximalt platta filtret, med hjälp av Butterworth-polynom . Butterworths arbete var helt oberoende av Cauer, men det visade sig senare att Butterworth-polynomen var ett begränsande fall av Chebyshev-polynomen. Ännu tidigare (1929) och återigen oberoende designade den amerikanske ingenjören och vetenskapsmannen Edward Lawry Norton (1898–1983) ett maximalt platt mekaniskt filter med en respons helt analog med Butterworths elektriska filter.

På 2000-talet fick intresset för att vidareutveckla teorin om nätverkssyntes ett lyft när teorin började tillämpas på stora mekaniska system. Det olösta problemet med minimering är mycket viktigare i den mekaniska domänen än den elektriska på grund av storleken och kostnaden för komponenter. År 2017 fastställde forskare vid University of Cambridge, som begränsade sig till att överväga biquadratiska rationella funktioner , att Bott-Duffins realiseringar av sådana funktioner för alla serieparallella nätverk och de flesta godtyckliga nätverk hade det minsta antalet reaktanser (Hughes, 2017). De fann detta resultat överraskande eftersom det visade att Bott-Duffin-metoden inte var fullt så icke-minimal som man tidigare trott. Denna forskning fokuserade delvis på att återbesöka Ladenheim-katalogen . Detta är en uppräkning av alla distinkta RLC-nätverk med högst två reaktanser och tre resistanser. Edward Ladenheim utförde detta arbete 1948 medan han studerade Foster. Katalogens relevans är att alla dessa nätverk realiseras av biquadratiska funktioner.

Ansökningar

Den enskilt mest använda tillämpningen av nätverkssyntes är vid utformningen av signalbehandlingsfilter . Den moderna designen av sådana filter är nästan alltid någon form av nätverkssyntesfilter .

Hendrik Bode

En annan tillämpning är designen av impedansmatchande nätverk. Impedansmatchning vid en enda frekvens kräver bara ett trivialt nätverk - vanligtvis en komponent. Impedansmatchning över ett brett band kräver dock ett mer komplext nätverk, även i det fall att käll- och belastningsresistanserna inte varierar med frekvensen. Att göra detta med passiva element och utan användning av transformatorer resulterar i en filterliknande design. Dessutom, om belastningen inte är ett rent motstånd är det endast möjligt att uppnå en perfekt matchning vid ett antal diskreta frekvenser; matchningen över bandet som helhet måste vara ungefärlig. Konstruktören föreskriver först frekvensbandet över vilket det matchande nätverket ska fungera och designar sedan ett bandpassfilter för det bandet. Den enda väsentliga skillnaden mellan ett standardfilter och ett matchande nätverk är att käll- och belastningsimpedanserna inte är lika.

Det finns skillnader mellan filter och matchande nätverk där parametrar är viktiga. Såvida nätverket inte har en dubbel funktion, är designern inte alltför bekymrad över beteendet hos det impedansmatchande nätverket utanför passbandet . Det spelar ingen roll om övergångsbandet inte är särskilt smalt, eller att stoppbandet har dålig dämpning . Faktum är att försök att förbättra bandbredden utöver vad som är absolut nödvändigt kommer att försämra impedansmatchningens noggrannhet. Med ett givet antal element i nätverket förbättrar en minskning av designbandbredden matchningen och vice versa. Begränsningarna för impedansmatchande nätverk undersöktes först av den amerikanske ingenjören och vetenskapsmannen Hendrik Wade Bode 1945, och principen att de nödvändigtvis måste vara filterliknande fastställdes av den italiensk-amerikanske datavetaren Robert Fano 1950. En parameter i passbandet som är vanligtvis inställd för filter är den maximala insättningsförlusten . För impedansmatchande nätverk kan en bättre matchning erhållas genom att även ställa in en minimiförlust. Det vill säga vinsten stiger aldrig till enhet vid något tillfälle.

Tidsfördröjningsnätverk kan designas genom nätverkssyntes med filterliknande strukturer. Det är inte möjligt att designa ett fördröjningsnät som har en konstant fördröjning på alla frekvenser i ett band. En uppskattning av detta beteende måste användas begränsat till en föreskriven bandbredd. Den föreskrivna fördröjningen kommer som mest att inträffa vid ett ändligt antal punktfrekvenser. Bessel -filtret har maximalt platt tidsfördröjning.

Tillämpningen av nätverkssyntes är inte begränsad till den elektriska domänen. Det kan appliceras på system inom vilken energidomän som helst som kan representeras som ett nätverk av linjära komponenter. Speciellt har nätverkssyntes funnit tillämpningar i mekaniska nätverk inom den mekaniska domänen. Övervägande av mekanisk nätverkssyntes ledde Malcolm C. Smith föreslog ett nytt mekaniskt nätverkselement, inertern , som är analog med den elektriska kondensatorn. Mekaniska komponenter med tröghetsegenskapen har hittat en tillämpning i upphängningarna av Formel 1- racingbilar.

Syntestekniker

Syntesen börjar med att välja en approximationsteknik som ger en rationell funktion som approximerar den erforderliga funktionen hos nätverket. Om funktionen ska implementeras med passiva komponenter måste funktionen även uppfylla villkoren för en positiv-real funktion ( PRF). Vilken syntesteknik som används beror dels på vilken form av nätverk som önskas, dels hur många slags element som behövs i nätverket. Ett nätverk av ett element är ett trivialt fall, vilket reducerar till en impedans för ett enda element. Ett nätverk av två element (LC, RC eller RL) kan syntetiseras med Foster- eller Cauer-syntes. Ett nätverk av tre element (ett RLC-nätverk) kräver mer avancerad behandling som Brune- eller Bott-Duffin-syntes.

Vilka och hur många typer av element som krävs kan bestämmas genom att undersöka funktionens poler och nollor (kollektivt kallade kritiska frekvenser). Kravet på kritiska frekvenser anges för varje typ av nät i relevanta avsnitt nedan.

Främja syntes

Fosters syntes, i sin ursprungliga form, kan endast tillämpas på LC-nätverk. En PRF representerar ett LC-nätverk av två element om de kritiska frekvenserna för $Z(s)$ alla finns på $i\omega$ -axeln i det komplexa planet av $s=\sigma +i\omega$ ( s -planet ) och kommer att alternera mellan poler och nollor. Det måste finnas en enda kritisk frekvens vid ursprunget och vid oändligheten, resten måste vara i konjugerade par . $Z(s)$ måste vara förhållandet mellan ett jämnt och udda polynom och deras grader måste skilja sig med exakt en. Dessa krav är en följd av Fosters reaktanssats .

Foster jag bildar

Exempel på en Foster I-form realisering

Fosters första form (Foster I-form) syntetiserar $Z(s)$ som en uppsättning parallella LC-kretsar i serie. Till exempel,

$Z(s)={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s} {18s^{4}+36s^{2}+8}}$

kan expanderas till partiella fraktioner som,

$Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5( 9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5 }})s^{2}+20}}\approx {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s ^{2}+1}}$

Den första termen representerar en serieinduktor, en följd av att $Z(s)$ har en pol i oändligheten. Om den hade haft en pol vid utgången skulle det representera en seriekondensator. De återstående två termerna representerar var och en konjugerade polpar på $i\omega$ -axeln. Var och en av dessa termer kan syntetiseras som en parallell LC-krets genom att jämföra med impedansuttrycket för en sådan krets,

$Z_{LC}(s)={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}$

Den resulterande kretsen visas i figuren.

Foster II form

Exempel på en Foster II-formulärförverkligande

Foster II-formen syntetiserar $Z(s)$ som en serie LC-kretsar parallellt. Samma metod för att expandera $) {\displaystyle Z(s)}$ partiella bråk används som för Foster I-form, men tillämpas på admittansen Y $\displaystyle Y(s)}$ istället för . Med samma exempel PRF som tidigare,

$Y(s)={1 \över Z(s)}={\ frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}$

Expanderad i partiella bråk,

$Y(s)\simeq {1 \over 3s}+{\frac {2,694s}{0.698s}{0.698s ^{2}+1}}+{\frac {1.415s}{0.4719s^{2}+1}}$

Den första termen representerar en shuntinduktor, en konsekvens av att $Y(s)$ har en pol vid origo (eller, på motsvarande sätt, $Z(s)$ har en nolla vid ursprunget). Om den hade haft en pol i oändligheten skulle det representera en shuntkondensator. De återstående två termerna representerar var och en konjugerade polpar på $i\omega$ -axeln. Var och en av dessa termer kan syntetiseras som en serie LC-krets genom jämförelse med admittansuttrycket för en sådan krets,

$Y_{LC}(s)={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}$

Den resulterande kretsen visas i figuren.

Utökning till RC- eller RL-nätverk

Fostersyntes kan utökas till vilket nätverk som helst av två element. Till exempel kommer delbråktermerna för ett RC-nätverk i Foster I-form att representera ett R- och C-element parallellt. I det här fallet kommer de partiella bråken att ha formen,

$Z_{RC}(s)={\frac {R}{RCs+1}}$

Andra former och elementslag följer efter analogi. Precis som med ett LC-nätverk kan PRF testas för att se om det är ett RC- eller RL-nätverk genom att undersöka de kritiska frekvenserna. De kritiska frekvenserna måste alla ligga på den negativa reella axeln och växla mellan poler och nollor, och det måste finnas lika många av varje. Om den kritiska frekvensen närmast, eller vid, origo är en pol, så är PRF ett RC-nätverk om det representerar ett $Z(s)$ , eller det är ett RL-nätverk om det representerar ett $Y(s)$ . Vice versa om den kritiska frekvensen närmast, eller vid, origo är noll. Dessa utvidgningar av teorin gäller även de Cauer-former som beskrivs nedan.

Immittans

I Foster-syntesen ovan är expansionen av funktionen samma procedur i både Foster I-formen och Foster II-formen. Det är bekvämt, särskilt i teoretiska verk, att behandla dem tillsammans som en immittans snarare än separat som antingen en impedans eller en admittans. Det är bara nödvändigt att deklarera om funktionen representerar en impedans eller en admittans vid den punkt som en faktisk krets behöver realiseras. Immittans kan också användas på samma sätt med Cauer I- och Cauer II-formulären och andra procedurer.

Cauer syntes

Cauer-syntes är en alternativ syntes till Foster-syntes och villkoren som en PRF måste uppfylla är exakt samma som Foster-syntes. Liksom Foster-syntes finns det två former av Cauer-syntes, och båda kan utökas till RC- och RL-nätverk.

Cauer bildar jag

Exempel på en Cauer I-formförverkligande

Cauer I-formen expanderar $Z(s)$ till en fortsatt bråkdel . Med samma exempel som används för Foster I-formuläret,

$Z(s)=0,5s+{\cfrac {1}{1,5s+{\cfrac {1}{2s+ {\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{0.5s}}}}}}}}$

eller, i mer kompakt notation,

$Z(s)=[0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].$

Villkoren för denna expansion kan implementeras direkt som komponentvärdena för ett stegnätverk som visas i figuren. Den givna PRF kan ha en nämnare som har en högre grad än täljaren. I sådana fall utökas den multiplikativa inversen av funktionen istället. Det vill säga, om funktionen representerar $Z(s)$ , ​​så expanderas ${\displaystyle Y(s)} istället och vice versa.$

Cauer II form

Exempel på en Cauer II-formförverkligande

Cauer II-formen expanderar $Z(s)$ på exakt samma sätt som Cauer I-formen förutom att den lägsta gradtermen extraheras först i den fortsatta bråkexpansionen snarare än den högsta gradtermen som görs i Cauer I form. Exemplet som används för Cauer I-formen och Foster-formerna när de expanderas som en Cauer II-form resulterar i att vissa element har negativa värden. Denna speciella PRF kan därför inte realiseras i passiva komponenter som en Cauer II-form utan inkluderandet av transformatorer eller ömsesidiga induktanser .

Det väsentliga skälet till att exemplet $Z(s)$ inte kan realiseras som en Cauer II-form är att denna form har en högpass- topologi. Det första elementet som extraheras i den fortsatta fraktionen är en seriekondensator. Detta gör det omöjligt för nollpunkten för $Z(s)$ vid origo att realiseras. Cauer I-formen har å andra sidan en lågpass- topologi och har naturligtvis en nolla i origo. Emellertid $Y(s)$ för denna funktion realiseras som en Cauer II-form eftersom det första elementet som extraheras är en shuntinduktor. Detta ger en pol vid origo för $Y(s)$ , ​​men det översätts till den nödvändiga nollan vid origo för $Z(s)$ . Den fortsatta fraktionsexpansionen är,

$Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1,083s},{1 \over 0,2175s},{1 \ över 1,735s}\right]$

och det realiserade nätverket visas i figuren.

Brune syntes

Brune-syntesen kan syntetisera vilken godtycklig PRF som helst, så i allmänhet kommer den att resultera i ett 3-element-typ (dvs. RLC) nätverk. Polerna och nollorna kan ligga var som helst i den vänstra halvan av det komplexa planet. Brune-metoden börjar med några preliminära steg för att eliminera kritiska frekvenser på den imaginära axeln som i Foster-metoden. Dessa preliminära steg kallas ibland Foster-ingressen . Det finns sedan en cykel av steg för att producera en kaskad av Brune-sektioner.

Borttagning av kritiska frekvenser på den imaginära axeln

Poler och nollor på $j\omega$ -axeln representerar L- och C-element som kan extraheras från PRF. Specifikt,

• en pol vid origo representerar en seriekondensator
• en pol vid oändlighet representerar en serieinduktans
• en nolla vid origo representerar en shuntinduktor
• en nolla vid oändligheten representerar en shuntkondensator
• ett polpar vid $s=\pm i\omega _{c}$ representerar en parallell LC-krets med resonansfrekvens $\omega _{c}$ i serie
• ett par nollor vid $s=\pm i\omega _{c}$ representerar en serie LC-krets med resonansfrekvens $\omega _{c}$ i shunt

Efter dessa extraktioner har den återstående PRF inga kritiska frekvenser på den imaginära axeln och är känd som en minimal reaktans , minsta susceptansfunktion . Brune syntesen börjar med en sådan funktion.

Stora översikter av metod

Kärnan i Brune-metoden är att skapa ett konjugerat par av nollor på $i\omega$ -axeln genom att extrahera de reella och imaginära delarna av funktionen vid den frekvensen och sedan extrahera nollparet som en resonant krets. Detta är den första Brune-sektionen i det syntetiserade nätverket. Den resulterande återstoden är en annan minimireaktansfunktion som är två grader lägre. Cykeln upprepas sedan, varvid varje cykel producerar ytterligare en Brune-sektion av det slutliga nätverket tills bara ett konstant värde (ett motstånd) återstår. Brune-syntesen är kanonisk, det vill säga antalet element i det slutliga syntetiserade nätverket är lika med antalet godtyckliga koefficienter i impedansfunktionen. Antalet element i den syntetiserade kretsen kan därför inte reduceras ytterligare.

Avlägsnande av minimimotstånd

Extrahera minimalt motstånd

En minimal reaktansfunktion kommer att ha en minsta reella del, $R_{\text{min}}$ , vid någon frekvens $\omega _{0}$ . Detta motstånd kan extraheras från funktionen och lämnar en rest av en annan PRF som kallas en minsta positiv-real funktion , eller bara en minimal funktion . Till exempel den minsta reaktansfunktionen

$Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2}+s +2}}$

har $\omega _{\text{min}}={\sqrt {2}}$ och $R_{\text{min}}=1$ . Minimifunktionen, $Z_{1}(s)$ , ​​är därför,

$Z_{1}(s)=Z(s)-R_{\text{min }}={\frac {s^{2}+2s+4}{2s^{2}+s+2}}$

Avlägsnande av negativ induktans eller kapacitans

Extraktion av negativ induktans

Eftersom $Z_{1}(i\omega _{0})$ inte har någon reell del, kan vi skriva,

$Z_{1}(i\omega _{0})=iX\ .$

För exempelfunktionen,

$Z_{1}(i\omega _{0})=-i{\sqrt {2}}=iX\ .$

I det här fallet är $X$ negativ, och vi tolkar det som reaktansen för en induktor med negativt värde, $L_{1}$ . Således,

$iX=i\omega _{0}L_{1}$ och

$L_{1}=-1$

efter att ha ersatt värdena för $\omega _{0}$ och $iX$ . Denna induktans extraheras sedan från $Z_{1}(s)$ , ​​vilket lämnar en annan PRF, $Z_{2}(s)$ ,

$Z_{2}(s)=Z_{1}(s)-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2} +s+2}}\ .$

Anledningen till att extrahera ett negativt värde är att $-sL_{1}$ är en PRF, vilket det inte skulle vara om $L_{1}$ var positiv. Detta garanterar att $Z_{2}(s)$ också kommer att vara PRF (eftersom summan av två PRF också är PRF) För fall där $X$ är ett positivt värde används istället admittansfunktionen och en negativ kapacitans extraheras. Hur dessa negativa värden implementeras förklaras i ett senare avsnitt.

Borttagning av ett konjugat par nollor

Extraktion av ett par nollor

Både de verkliga och imaginära delarna av $Z(i\omega _{0})$ har tagits bort i tidigare steg. Detta lämnar ett par nollor i $Z_{2}(s)$ vid $\pm i\omega _{0}$ som visas genom att faktorisera exempelfunktionen;

$Z_{2}(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s ^{2}+2)(2s+2)}{2s^{2}+s+2}}\ .$

Eftersom ett sådant nollpar representerar en shuntresonanskrets, extraherar vi den som ett par poler från admittansfunktionen,

${\begin{aligned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2} +s+2}{(s^{2}+2)(2s+2)}}\\&={1 \över {2s+2}}+{\frac {s/2}{s^{2 }+2}}\\&=Y_{3}(s)+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{aligned}}$

${\displaystyle C_{2}=1/4$ extraherade resonanskretsen med $L_{2}=2$ och . Nätverket som syntetiserats hittills visas i figuren.

Borttagning av en stolpe i oändlighet

Utdragning av en stolpe i oändligheten

$Z_{3}(s)$ måste ha en pol i oändligheten, eftersom en där skapades genom extraktion av en negativ induktans. Denna pol kan nu extraheras som en positiv induktans.

$Z_{3}(s)={1 \över Y_{3}(s)}=2s+2=Z_{4}(s)+2s.$

Alltså $L_{3}=2$ som visas i figuren.

Ersätter negativ induktans med en transformator

Eliminera negativ induktans genom att använda en transformator

Den negativa induktansen kan inte implementeras direkt med passiva komponenter. Emellertid kan "tee" av induktorer omvandlas till ömsesidigt kopplade induktorer som absorberar den negativa induktansen. Med en kopplingskoefficient av enhet (tätt kopplad) är den ömsesidiga induktansen, $M$ , i exemplet 2,0.

Skölj och upprepa

I allmänhet kommer $Z_{4}(s)$ att vara en annan minimireaktansfunktion och Brune-cykeln upprepas sedan för att extrahera ytterligare en Brune-sektion. I exempelfallet var den ursprungliga PRF av grad 2, så efter att ha reducerat den med två grader finns bara en konstant term kvar som trivialt syntetiseras som ett motstånd.

Positivt X

I steg två av cykeln nämndes att ett negativt elementvärde måste extraheras för att garantera en PRF-rest. Om $X$ är positivt måste det extraherade elementet vara en shuntkondensator istället för en serieinduktor om elementet ska vara negativt. Den extraheras från admittansen $Y_{1}(s)$ istället för impedansen $Z_{1}(s)$ . Kretstopologin som kom fram till i steg fyra av cykeln är en Π (pi) av kondensatorer plus en induktor istället för en tee av induktorer plus en kondensator. Det kan visas att denna Π av kondensatorer plus induktor är en ekvivalent krets av induktorernas tee plus kondensator. Det är således tillåtet att extrahera en positiv induktans och sedan fortsätta som om $Z_{2}(s)$ var PRF, även om det inte är det. Det korrekta resultatet kommer fortfarande att uppnås och den återstående funktionen kommer att vara PRF så att den kan matas in i nästa cykel.

Bott-Duffin syntes

Exempel på Bott-Duffin syntes steg 1 och 2

Exempel på Bott-Duffin syntes steg 3 och 4

Bott-Duffin-syntesen börjar som med Brune-syntesen genom att ta bort alla poler och nollor på i $\displaystyle i\omega }$ -axeln. Sedan åberopas Richards teorem , som säger för,

$R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{ kZ(k)-sZ(s)}}$

om $Z(s)$ är en PRF så är $R(s)$ en PRF för alla reella, positiva värden av $k$ .

Att göra $Z(s)$ till ämnet för uttrycket resulterar i,

$Z( s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\ frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}$

Ett exempel på en cykel av Bott-Duffin-syntes visas i figurerna. De fyra termerna i detta uttryck är respektive en PRF ( $Z_{2}(s)$ i diagrammet), en induktans, $L$ , parallellt med den, en annan PRF ( $Z_{1}(s)$ i diagrammet), och en kapacitans, $C$ , parallellt med den. Ett par kritiska frekvenser på $i\omega$ -axeln extraheras sedan från var och en av de två nya PRF:erna (detaljer ges inte här) som var och en realiseras som en resonanskrets. De två återstående PRF:erna ( $Y_{3}(s)$ och $Z_{4}(s)$ i diagrammet) är vardera två grader lägre än $Z(s)$ . Samma procedur tillämpas sedan upprepade gånger på de nya PRF:erna som genereras tills bara ett enda element återstår. Eftersom antalet genererade PRF:er fördubblas med varje cykel, kommer antalet syntetiserade element att växa exponentiellt. Även om Bott-Duffin-metoden undviker användningen av transformatorer och kan appliceras på alla uttryck som kan realiseras som ett passivt nätverk, har den begränsad praktisk användning på grund av det höga komponentantal som krävs.

Bayard syntes

Bayard-syntes är en tillstånd- rymdsyntesmetod baserad på Gauss-faktoriseringsproceduren . Denna metod returnerar en syntes med det minsta antalet motstånd och innehåller inga gyratorer . Metoden är emellertid icke-kanonisk och kommer i allmänhet att returnera ett icke-minimalt antal reaktanselement.

Darlington syntes

Darlingtonsyntes utgår från ett annat perspektiv än de tekniker som diskuterats hittills, som alla utgår från en föreskriven rationell funktion och realiserar den som en enportsimpedans . Darlingtonsyntes börjar med en föreskriven rationell funktion som är den önskade överföringsfunktionen för ett tvåportsnätverk . Darlington visade att vilken PRF som helst kan realiseras som ett tvåportsnätverk med endast L- och C-element med ett enda motstånd som avslutar utgångsporten. Darlington och relaterade metoder kallas för insättningsförlustmetoden . Metoden kan utökas till nätverk med flera portar med varje port avslutad med ett enda motstånd.

Darlington-metoden kommer i allmänhet att kräva transformatorer eller kopplade induktorer. De vanligaste filtertyperna kan dock konstrueras med Darlington-metoden utan dessa oönskade egenskaper.

Aktiva och digitala realiseringar

Ett exempel på ett Sallen-Key cell lågpassfilter

Om kravet på att endast använda passiva element upphävs, kan förverkligandet avsevärt förenklas. Förstärkare kan användas för att buffra delarna av nätverket från varandra så att de inte interagerar. Varje buffrad cell kan direkt realisera ett par poler av den rationella funktionen. Det finns då inget behov av någon form av iterativ expansion av funktionen. Det första exemplet på denna typ av syntes beror på Stephen Butterworth 1930. Butterworth-filtret han producerade blev en klassiker inom filterdesign, men implementerades oftare med rent passiva snarare än aktiva komponenter. Mer allmänt tillämpliga konstruktioner av detta slag inkluderar Sallen-Key-topologin på grund av RP Sallen och EL Key 1955 vid MIT Lincoln Laboratory , och det biquadratiska filtret . Liksom Darlington-metoden börjar Butterworth och Sallen-Key med en föreskriven överföringsfunktion snarare än en impedans. En stor praktisk fördel med aktiv implementering är att den kan undvika användningen av lindade komponenter (transformatorer och induktorer) helt och hållet. Dessa är oönskade av tillverkningsskäl. En annan egenskap hos aktiva mönster är att de inte är begränsade till PRF.

Digitala realiseringar, liksom aktiva kretsar, är inte begränsade till PRF och kan implementera vilken rationell funktion som helst genom att helt enkelt programmera in den. Funktionen kanske inte är stabil. Det vill säga, det kan leda till svängning . PRF:er är garanterat stabila, men andra funktioner kanske inte är det. Stabiliteten för en rationell funktion kan bestämmas genom att undersöka funktionens poler och nollor och tillämpa Nyquists stabilitetskriterium .

Bibliografi

Källor

•   Aatre, Vasudev K., Nätverksteori och filterdesign , New Age International, 1986 ISBN 0852260148 .
•   Anderson, Brian DO; Vongpanitlerd, Sumeth, Network Analysis and Synthesis: A Modern Systems Theory Approach , Courier Corporation, 2013 ISBN 0486152170 .
•   Awang, Zaiki, Microwave Systems Design , Springer, 2013 ISBN 9789814451246 .
•   Bakshi, UA; Bakshi, AV, Circuit Analysis - II , Tekniska publikationer, 2009 ISBN 9788184315974 .
•   Bakshi, UA; Chitode, JS, Linjär systemanalys , tekniska publikationer, 2009 ISBN 8184317409 .
• Belevitch, Vitold , "Sammanfattning av kretsteorins historia" , Proceedings of the IRE, vol. 50, iss. 5, s. 848–855, maj 1962.
•   Carlin, Herbert J.; Civalleri, Pier Paolo, Wideband Circuit Design , CRC Press, 1997 ISBN 9780849378973 .
• Cauer, Emil; Mathis, Wolfgang; Pauli, Rainer, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 – 1945)" , Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000), Perpignan, juni 2000.
•   Chao, Alan; Athans, Michael, "Stabilitet robusthet mot ostrukturerad osäkerhet för linjära tidsinvarianta system", kap. 30 in, Levine, William S., The Control Handbook , CRC Press, 1996 ISBN 0849385709 .
•   Chen, Michael ZQ; Hu, Yinlong, Inerter och dess tillämpning i vibrationskontrollsystem , Springer, 2019 ISBN 981107089X .
•   Chen, Michael ZQ; Smith, Malcolm C. , "Elektrisk och mekanisk passiv nätverkssyntes", s. 35–50 i, Blondel, Vincent D.; Boyd, Stephen P.; Kimuru, Hidenori (red), Recent Advances in Learning and Control , Springer, 2008 ISBN 9781848001541 .
•   Comer, David J.; Comer, Donald T., Advanced Electronic Circuit Design , Wiley, 2003 ISBN 0471228281 .
• Darlington, Sidney "En historia av nätverkssyntes och filterteori för kretsar som består av resistorer, induktorer och kondensatorer", IEEE Transactions: Circuits and Systems , vol. 31, s. 3–13, 1984.
•   Ghosh, SP, Chakroborty, AK, Nätverksanalys och syntes , Tata McGraw Hill, 2010 ISBN 9781259081422 .
•   Glisson, Tildon H., Introduction to Circuit Analysis and Design , Springer, 2011 ISBN ISBN 9048194431 .
•   Houpis, Constantine H.; Lubelfeld, Jerzy, Pulse Circuits , Simon och Schuster, 1970 OCLC 637996615 .
•   Hubbard, John H. , "The Bott-Duffin synthesis of electrical circuits", s. 33–40 i, Kotiuga, P. Robert (red), A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott , American Mathematical Society, 2010 ISBN 9780821883815 .
•   Hughes, Timothy H.; Morelli, Alessandro; Smith, Malcolm C. , "Electrical network synthesis: A survey of recent work" , s. 281–293 i, Tempo, R.; Yurkovich, S.; Misra, P. (red), Emerging Applications of Control and Systems Theory , Springer, 2018 ISBN 9783319670676 .
•   Kalman, Rudolf , "Gamla och nya riktningar för forskning inom systemteori", s. 3–13 i Willems, Jan; Hara, Shinji; Ohta, Yoshito; Fujioka, Hisaya (red), Perspectives in Mathematical System Theory, Control and Signal Processing , Springer, 2010 ISBN 9783540939177 .
•   Lee, Thomas H. , Planar Microwave Engineering , Cambridge University Press, 2004 ISBN 0521835267 .
•   Matthaei, George L.; Ung, Leo ; Jones, EMT, mikrovågsfilter, impedansmatchande nätverk och kopplingsstrukturer , McGraw-Hill 1964 LCCN 64-7937 .
•   Paarmann, Larry D., Design and Analysis of Analog Filters , Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 0792373731 .
•   Robertson, Ean; Somjit, Nutapong; Chongcheawchamnan Mitchai, Microwave and Millimeter-Wave Design for Wireless Communications , John Wiley & Sons, 2016 ISBN 1118917219 .
•   Shenoi, Belle A., Magnitude and Delay Approximation of 1-D and 2-D Digital Filters , Springer, 2012 ISBN 3642585736 .
•   Sisodia, ML; Gupta, Vijay Laxmi, Mikrovågor: Introduktion till kretsar, enheter och antenner , New Age International, 2007 ISBN 8122413382 .
•   Storer, James Edward, Passive Network Synthesis , McGraw-Hill, 1957 OCLC 435995425 .
•   Swanson, David C., Signal Processing for Intelligent Sensor Systems with MATLAB , CRC Press, 2012 ISBN 1420043056 .
•   Vaisband, Inna P.; Jakushokas, Renatas, Popovich, Mikhail; Mezhiba, Andrey V.; Köse, Selçuk; Friedman Eby G., On-Chip Power Delivery and Management , Springer, 2016 ISBN 3319293958 .
•   Wanhammar, Lars , Analog Filter using MATLAB , Springer, 2009 ISBN 0387927670 .
•   Youla, Dante C., Theory and Synthesis of Linear Passive Time-Invariant Networks , Cambridge University Press, 2015 ISBN 1107122864 .
•   Wing, Omar, Classical Circuit Theory , Springer, 2008 ISBN 0387097406 .

Primära dokument

• Bott, Raoul ; Duffin, Richard , "Impedanssyntes utan användning av transformatorer" , Journal of Applied Physics , vol. 20, iss. 8, sid. 816, augusti 1949.
•   Bode, Hendrik , Network Analysis and Feedback Amplifier Design , s. 360–371, D. Van Nostrand Company, 1945 OCLC 1078811368 .
• Brune, Otto , "Syntes av ett ändligt tvåterminalsnätverk vars drivpunktsimpedans är en föreskriven funktion av frekvens", MIT Journal of Mathematics and Physics, vol. 10, s. 191–236, april 1931.
• Butterworth, Stephen , "On the theory of filter amplifiers" , Experimental Wireless and the Wireless Engineer , vol. 7, nr. 85, s. 536–541, oktober 1930.
• Cauer, Wilhelm , "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderstände vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit" (Realiseringen av impedanser av föreskrivet frekvensberoende), Archiv für Elektrotechnik , vol. 17, s. 355–388, 1926 (på tyska).
• Cauer, Wilhelm, "Vierpole mit vorgeschriebenem D ̈ampfungs-verhalten", Telegraphen-, Fernsprech-, Funk- und Fern-sehtechnik , vol. 29, s. 185–192, 228–235. 1940 (på tyska).
• Cocci, Giovanni, "Rappresentazione di bipoli qualsiasi con quadripoli di pure reattanze chiusi su resistenze", Alta Frequenza , vol. 9, s. 685–698, 1940 (på italienska).
• Darlington, Sidney , "Synthesis of reactance 4-poles which produce prescribed insertion loss characteristics: Inclusive special applications to filter design", MIT Journal of Mathematics and Physics , vol. 18, s. 257–353, april 1939.
• Fano, Robert , "Teoretiska begränsningar för bredbandsmatchning av godtyckliga impedanser", Journal of the Franklin Institute, vol. 249, iss. 1, s. 57–83, januari 1950.
• Fialko, Aaron; Gerst, Irving, "Impedanssyntes utan ömsesidig koppling" , Quarterly of Applied Mathematics, vol. 12, nr 4, s. 420–422, 1955
• Hughes, Timothy H., "Varför RLC-förverkliganden av vissa impedanser behöver många fler energilagringselement än förväntat", IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 62, iss 9, s. 4333-4346, september 2017.
• Hughes, Timothy H., "Passivitet och elektriska kretsar: ett beteendemässigt tillvägagångssätt", IFAC -PapersOnLine, vol. 50, iss. 1, s. 15500–15505, juli 2017.
• Ladenheim, Edward L., A Synthesis of Biquadratic Impedances , Magisteravhandling, Polytechnic Institute of Brooklyn, New York, 1948.
• Pantell, RH, "A new method of driving point impedance synthesis" , Proceedings of the IRE , vol. 42, iss. 5, sid. 861, 1954.
• Reza, FM, "A bridge equivalent for a Brune cycle terminated in a resistor" , Proceedings of the IRE , vol. 42, iss. 8, sid. 1321, 1954.
• Richards, Paul I. , "En speciell klass av funktioner med positiv reell del i ett halvplan", Duke Mathematical Journal , vol. 14, nr. 3, 777–786, 1947.
• Sallen, RP; Key, EL, "En praktisk metod för att designa aktiva RC-filter", IRE Transactions on Circuit Theory, vol. 2, iss. 1 s. 74–85, mars 1955.
• Smith, Malcolm C. , "Synthesis of mechanical networks: the inerter" , IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 47, iss. 10, s. 1648–1662, oktober 2002.
• Storer, JE, "Relation between the Bott-Duffin and Pantell impedance synthesis" , Proceedings of the IRE, vol. 42, iss. 9, sid. 1451, september 1954.