Elliptiska rationella funktioner

Plotta elliptiska rationella funktioner för x mellan -1 och 1 för ordning 1,2,3 och 4 med diskrimineringsfaktor ξ=1,1. Alla är avgränsade mellan -1 och 1 och alla har värdet 1 vid x=1 .

Inom matematiken är de elliptiska rationella funktionerna en sekvens av rationella funktioner med reella koefficienter. Elliptiska rationella funktioner används i stor utsträckning vid utformningen av elliptiska elektroniska filter . (Dessa funktioner kallas ibland Chebyshev rationella funktioner , inte att förväxla med vissa andra funktioner med samma namn ).

Rationella elliptiska funktioner identifieras av en positiv heltalsordning n och inkluderar en parameter ξ≥1 som kallas selektivitetsfaktorn . En rationell elliptisk funktion av grad n i x med selektivitetsfaktor ξ definieras generellt som:

${\ displaystil R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n}(\xi ))}{K(1/\xi )}} \,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}(\xi )\right)}$

var

• cd(u,k) är Jacobis elliptiska cosinusfunktion .
• K() är en komplett elliptisk integral av det första slaget.
• ${\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi)} är$ diskrimineringsfaktorn lika med storlekens minimivärde av $R_{n}(\xi ,x)$ för $|x|\geq \xi$ .

I många fall, i synnerhet för ordningar av formen n = 2 ^a 3 ^b där a och b är heltal, kan de elliptiska rationella funktionerna uttryckas med enbart algebraiska funktioner. Elliptiska rationella funktioner är nära besläktade med Chebyshev-polynomen : Precis som de cirkulära trigonometriska funktionerna är specialfall av Jacobi-elliptiska funktioner, så är Chebyshev-polynomen specialfall av de elliptiska rationella funktionerna.

Uttryck som ett förhållande mellan polynom

För jämna ordningar kan de elliptiska rationella funktionerna uttryckas som ett förhållande mellan två polynom, båda av ordningen n .

$,x)=r_{0} \,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}} }$ (för n jämn)

där $x_{i}$ är nollorna och $x_{pi}$ är polerna, och $\displaystyle r_{0}} är en$ vald så att $R_{n}(\xi ,1)=1$ . Ovanstående form skulle också vara sant för jämna order, förutom att för udda order kommer det att finnas en pol vid x=∞ och en nolla vid x=0 så att formen ovan måste modifieras för att läsa:

$(\xi ,x) =r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n- 1}(x-x_{pi})}}}$ (för n udda)

Egenskaper

Plotta absolutvärdet av tredje ordningens elliptiska rationella funktion med ξ=1,4. Det finns en nolla vid x=0 och polen vid oändlighet. Eftersom funktionen är antisymmetrisk ser man att det finns tre nollor och tre poler. Ln _värdet av diskrimineringsfaktorn

Plotta det absoluta värdet av fjärde ordningens elliptiska rationella funktion med ξ=1,4. Eftersom funktionen är symmetrisk ser man att det finns fyra nollor och fyra poler. Ln _värdet av diskrimineringsfaktorn

Rita av effekten av selektivitetsfaktorn ξ. Den elliptiska rationella funktionen av fjärde ordningen visas med värden på ξ som varierar från nästan enhet till oändligt. Den svarta kurvan, som motsvarar ξ=∞ är Chebyshev-polynomet av ordning 4. Ju närmare selektivitetsfaktorn är enhet, desto brantare blir lutningen i övergångsområdet mellan x=1 och x=ξ.

De kanoniska egenskaperna

• $R_{n}^{2}(\xi,x)\leq 1$ för $|x|\leq 1\,$
• $R_{n}^{2}(\xi,x)=1$ vid $|x|=1\,$
• $R_{n}^{2}(\xi,-x)=R_{n}^{2}(\xi,x )$
• $R_{n}^{2}(\xi ,x)>1$ för $x>1\,$
• Lutningen vid x=1 är så stor som möjligt
• Lutningen vid x=1 är större än motsvarande lutning för Chebyshev-polynomet av samma ordning.

Den enda rationella funktionen som uppfyller ovanstående egenskaper är den elliptiska rationella funktionen ( Lutovac, Tošić & Evans 2001, § 13.2). Följande egenskaper härleds:

Normalisering

Den elliptiska rationella funktionen är normaliserad till enhet vid x=1:

$R_{n}(\xi ,1)=1\,$

Häckande egendom

Den häckande egenskapen är skriven:

$n}(\xi,\xi),$

Detta är en mycket viktig egenskap:

• Om $R_{n}$ är känd för alla primtal n , så ger kapslingsegenskapen $R_{n}$ för alla n . I synnerhet eftersom $R_{2}$ och $R_{3}$ kan uttryckas i sluten form utan explicit användning av Jacobis elliptiska funktioner, då är alla $R_{n }$ för n av formen $n=2^{a}3^{b}$ kan uttryckas så.
• Det följer att om nollorna för $R_{n}$ för primtal n är kända, kan nollorna för alla $R_{n}$ hittas. Med hjälp av inversionsförhållandet (se nedan) kan polerna också hittas.
• Den häckande egenskapen innebär häckningsegenskapen för diskrimineringsfaktorn:

$L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi))$

Begränsande värden

De elliptiska rationella funktionerna är relaterade till Chebyshev-polynomen av det första slaget $T_{n}(x)$ genom:

$\lim _{\xi =\högerpil \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n} (x)\,$

Symmetri

$R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi,x)\,$ för n jämn

$R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,$ för n udda

Equiripple

$R_{n}(\xi ,x)$ har lika stor rippel på $\pm 1$ i intervallet $-1\leq x\leq 1$ . Genom inversionsförhållandet (se nedan) följer att $1/R_{n}(\xi ,x)$ har ekviripple i $-1/\xi \leq x\leq 1/\xi$ av $\pm 1/L_{n}(\xi)$ .

Inversionsförhållande

Följande inversionsförhållande gäller:

$R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}( \xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,$

Detta innebär att poler och nollor kommer i par så att

$x_{pi}x_{zi}=\xi \,$

Funktioner med udda ordning kommer att ha en nolla vid x=0 och en motsvarande pol vid oändlighet.

Polar och nollor

Nollorna för den elliptiska rationella funktionen av ordning n kommer att skrivas $x_{ni}(\xi )$ eller $x_{ni}$ när $\xi$ är implicit känd. Nollorna för den elliptiska rationella funktionen kommer att vara nollorna för polynomet i funktionens täljare.

Följande härledning av nollorna för den elliptiska rationella funktionen är analog med den för att bestämma nollorna för Chebyshev-polynomen ( Lutovac, Tošić & Evans 2001, § 12.6). Att använda det faktum att för alla z

$\mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,$

den definierande ekvationen för de elliptiska rationella funktionerna antyder det

$n{\frac {K( 1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_ {n})$

så att nollorna ges av

$x_{m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\ höger).$

Med hjälp av inversionsförhållandet kan polerna sedan beräknas.

Från kapslingsegenskapen, om nollorna för $R_{m}$ och $R_{n}$ kan uttryckas algebraiskt (dvs. utan behov av att beräkna Jacobi-ellipsfunktionerna) så kommer nollorna för $R_{m\cdot n}$ kan uttryckas algebraiskt. I synnerhet kan nollorna för elliptiska rationella funktioner av ordningen $2^{i}3^{j}$ uttryckas algebraiskt ( Lutovac, Tošić & Evans 2001, § 12.9, 13.9). Till exempel kan vi hitta nollorna för $R_{8}(\xi ,x)$ enligt följande: Definiera

$X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt { 1-1/L_{n}^{2}}}.$

Sedan, från häckningsfastigheten och att veta det

$R_{2}(\xi,x)={\frac {(t+1)x ^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}$

där $t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}$ har vi:

$L_{2}={\frac {1+t}{ 1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4 }}{1-t_{4}}}$

$X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\ frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}= {\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.$

Dessa tre sista ekvationer kan inverteras:

$x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)} }}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_ {4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1- X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad$

För att beräkna nollorna för $R_{8}(\xi ,x)$ sätter vi $X_{8}=0$ i den tredje ekvationen, beräkna de två värdena av $X_{4}$ , använd sedan dessa värden på $X_{4}$ i den andra ekvationen för att beräkna fyra värden på $X_{2}$ och använd slutligen dessa värden i den första ekvationen för att beräkna de åtta nollorna i $R_{8}(\xi ,x)$ . ( $t_{n}$ beräknas med en liknande rekursion.) Återigen, genom att använda inversionsförhållandet, kan dessa nollor användas för att beräkna polerna.

Särskilda värden

Vi kan skriva de första elliptiska rationella funktionerna som:

$R_{1}(\xi ,x)=x\,$

$R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}$

där

$t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}$

$R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1 -x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p }^{2})}}$

där

$G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4 \xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}$

$x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{ 2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}$

$x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}$

$R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t) (1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+ t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}$

${\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,} osv$ .

Se Lutovac, Tošić & Evans (2001, § 13) för ytterligare uttryckliga uttryck av ordning n=5 och $n=2^{i}\,3^{j}$ .

Motsvarande diskrimineringsfaktorer är:

$L_{1}(\xi )=\xi \,$

$L_ {2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}$

$L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1- x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\höger)^{2}$

$L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{ 1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}$

$L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,$ osv.

Motsvarande nollor är $x_{nj}$ där n är ordningen och j är numret på nollan. Det blir totalt n nollor för varje beställning.

$x_{11}=0\,$

$x_{21}=\xi {\sqrt {1-t}}\,$

$x_{22}=-x_{21}\,$

$x_{31}=x_{z}\,$

$x_{32}=0\,$

$x_{33}=-x_{31}\,$

$x_{41 }=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,$

${\displaystyle x_{42}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right) \left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,} x$

$\displaystyle x_{43}=-x_{42}\,}$

$x_{44}=-x_{41}\,$

Från inversionsrelationen kan motsvarande poler $x_{p,ni}$ hittas av $x_{p,ni}= \xi /(x_{ni})$

• MathWorld
•   Daniels, Richard W. (1974). Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6 .
•   Lutovac, Miroslav D.; Tošić, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filterdesign för signalbehandling med MATLAB© och Mathematica© . New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2 .