Sallen–Key topologi

Sallen -Key-topologin är en elektronisk filtertopologi som används för att implementera andra ordningens aktiva filter som är särskilt uppskattad för sin enkelhet. Det är en degenererad form av en spänningsstyrd spänningskälla ( VCVS ) filtertopologi .

Förklaring av drift

Ett VCVS-filter använder en spänningsförstärkare med praktiskt taget oändlig ingångsimpedans och noll utgångsimpedans för att implementera ett 2-poligt lågpass- , högpass- , bandpass- , bandstopp- eller allpasssvar . VCVS-filtret tillåter hög Q-faktor och passbandsförstärkning utan användning av induktorer . Ett VCVS-filter har också fördelen av oberoende: VCVS-filter kan kaskadkopplas utan att stegen påverkar varandras inställning. Ett Sallen-Key-filter är en variant av ett VCVS-filter som använder en enhetsspänningsförstärkare (dvs. en ren buffertförstärkare ). Det introducerades av RP Sallen och EL Key från MIT Lincoln Laboratory 1955.

Historik och genomförande

1955 använde Sallen och Key vakuumrör katodföljare ; katodföljaren är en rimlig approximation till en förstärkare med enhetsspänningsförstärkning. Moderna analoga filterimplementeringar kan använda operationsförstärkare (även kallade op-amps ). På grund av dess höga ingångsimpedans och lätt valbara förstärkning , används ofta en operationsförstärkare i en konventionell icke-inverterande konfiguration i VCVS-implementeringar. Implementeringar av Sallen-Key-filter använder ofta en op-amp konfigurerad som en spänningsföljare ; Emitter- eller källföljare är dock andra vanliga val för buffertförstärkaren.

Känslighet för komponenttoleranser

VCVS-filter är relativt motståndskraftiga mot komponenttolerans , men för att erhålla hög Q-faktor kan det krävas extrem komponentvärdesspridning eller hög förstärkarförstärkning. Filter av högre ordning kan erhållas genom att kaskadkoppla två eller flera steg.

Generisk Sallen-Key topologi

Figur 1: Den generiska Sallen-Key-filtertopologin

Den generiska Unity-gain Sallen-Key-filtertopologin implementerad med en unity-gain operationsförstärkare visas i figur 1. Följande analys är baserad på antagandet att operationsförstärkaren är idealisk.

Eftersom operationsförstärkaren har en negativ återkopplingskonfiguration måste dess ingångar $v_{+}$ och ${\displaystyle v_{-}} matcha (dvs$$v_{ +}=v_{-}$ ). Den inverterande ingången $v_{-}$ är dock ansluten direkt till utgången ${\displaystyle v_{\text{out}}} ,$ och så

$v_{+}=v_{-}=v_{\text{out}}.$

 

 

 

 

(1)

Enligt Kirchhoffs nuvarande lag (KCL) tillämpad på ${\displaystyle v_{x}}-$ noden,

${\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{ 3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.$

 

 

 

 

(2)

Genom att kombinera ekvationerna (1) och (2),

${\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{ 3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.$

Att tillämpa ekvation (1) och KCL på op-förstärkarens icke-inverterande ingång $v_{+}$ ger

${\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text {out}}}{Z_{4}}},$

vilket betyder att

$v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\höger).$

 

 

 

 

(3)

Att kombinera ekvationerna (2) och (3) ger

${\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\höger)}{ Z_{1}}}={\frac {v_{\text{ut}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\höger)-v_{\text{ut }}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{ \text{ut}}}{Z_{2}}}.$

 

 

 

 

(4)

Omarrangering av ekvation (4) ger överföringsfunktionen

${\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text {in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3} Z_{4}}},$

 

 

 

 

(5)

som vanligtvis beskriver ett andra ordningens linjärt tidsinvariant (LTI) system .

Om $Z_{3}$ -komponenten var ansluten till jord istället för till $v_{\text{out}}$ , skulle filtret vara en spänningsdelare sammansatt av $Z_{1}$ och $Z_{3}$ komponenter i kaskad med en annan spänningsdelare som består av $Z_{2}$ och $Z_{4}$ komponenterna. Buffertförstärkaren startar "botten" av $Z_{3}$ -komponenten till utgången från filtret, vilket kommer att förbättras jämfört med det enkla tvådelade fallet. Denna tolkning är anledningen till att Sallen-Key-filter ofta ritas med op-förstärkarens icke-inverterande ingång under den inverterande ingången, vilket framhäver likheten mellan utgång och jord.

Grenimpedanser

Genom att välja olika passiva komponenter (t.ex. motstånd och kondensatorer ) för $Z_{1}$ , $Z_{2}$ , $Z_{4}$ och ${ \displaystyle Z_{3}}$ , kan filtret göras med lågpass- , bandpass- och högpasskarakteristika . I exemplen nedan, kom ihåg att ett motstånd med resistans $R$ har impedans $Z_{R}$ av

$Z_{R}=R,$

och en kondensator med kapacitans $C$ har impedans $Z_{C}$ av

$Z_{C}={\frac {1}{sC}},$

där $s=j\omega =2\pi jf$ (här betecknar ${\displaystyle j} den$ imaginära enheten ) är den komplexa vinkelfrekvensen och $f$ är frekvensen för en ren sinusvågsingång . Det vill säga, en kondensators impedans är frekvensberoende och ett motstånds impedans inte.

Användning: lågpassfilter

Figur 2: Ett lågpassfilter med enhetsförstärkning implementerat med en Sallen-Key-topologi

Ett exempel på en lågpasskonfiguration med enhetsförstärkning visas i figur 2. En operationsförstärkare används som buffert här, även om en emitterföljare också är effektiv. Denna krets motsvarar det generiska fallet ovan med

$Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{ 4}={\frac {1}{sC_{2}}}.$

Överföringsfunktionen för detta andra ordningens enhetsförstärkningslågpassfilter är

$H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},$

där den odämpade egenfrekvensen $f_{0}$ , dämpningen $\alpha$ , Q-faktor $Q$ och dämpningsförhållandet $\zeta$ , ges av

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2 }C_{1}C_{2}}}}$

och

$2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({ \frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac { R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\höger).$

Så,

$Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_ {2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.$

Q ${\displaystyle Q} -faktorn bestämmer höjden och bredden på toppen$ filtrets frekvenssvar. När denna parameter ökar kommer filtret att tendera att "ringa" vid en enda resonansfrekvens nära $f_{0}$ (se " LC-filter " för en relaterad diskussion).

Polar och nollor

Denna överföringsfunktion har inga (ändliga) nollor och två poler placerade i det komplexa s -planet :

$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.$

Det finns två nollor i oändligheten (överföringsfunktionen går till noll för var och en av $s$ termer i nämnaren).

Designval

En designer måste välja $Q$ och $f_{0}$ som är lämpliga för deras tillämpning. Q ${\displaystyle Q} -värdet är avgörande för$ bestämma den slutliga formen. Till exempel har ett andra ordningens $1/{\sqrt {2}$ -filter , som har maximalt platt passbandsfrekvenssvar, en $Q$ på . Som jämförelse motsvarar ett värde på $Q=1/2$ av två identiska enkla lågpassfilter

Eftersom det finns 2 parametrar och 4 okända, fixerar designproceduren vanligtvis förhållandet mellan båda motstånden såväl som mellan kondensatorerna. En möjlighet är att ställa in förhållandet mellan $C_{1}$ och $C_{2}$ som $n$ kontra $1/n$ och förhållandet mellan $R_{1}$ och $R_{2}$ som $m$ mot $1/m$ . Så,

${\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n .\end{aligned}}$

Som ett resultat reduceras uttrycken $f_{0}$ och ${\displaystyle Q} till$

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}$

och

$Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.$

₀ Figur 3: Ett lågpassfilter, som är implementerat med en Sallen–Key-topologi, med f = 15,9 kHz och Q = 0,5

Med utgångspunkt från ett mer eller mindre godtyckligt val för t.ex. $C$ och ${\displaystyle n} kan$ lämpliga värden för $R$ och $m$ beräknas till förmån för önskat $f_{0}$ och $Q$ . I praktiken kommer vissa val av komponentvärden att prestera bättre än andra på grund av att verkliga operationsförstärkare inte är idealiska. Som ett exempel kommer höga motståndsvärden att öka kretsens brusproduktion, samtidigt som de bidrar till DC-offsetspänningen på utgången av op-förstärkare utrustade med bipolära ingångstransistorer.

Exempel

Till exempel har kretsen i figur 3 $f_{0}=15,9~{\text{kHz}}$ och $Q=0,5$ . Överföringsfunktionen ges av

$H(s)= {\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\ frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0} ^{2}}}s^{2}}},$

och efter substitutionen är detta uttryck lika med

$H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1 }{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s ^{2}}},$

som visar hur varje ${\displaystyle (R,C)}-$ kombination kommer med någon ${\displaystyle (m,n)}-$ kombination för att ge samma $f_{0}$ och $Q$ för lågpassfiltret. En liknande designmetod används för de andra filtren nedan.

Ingångsimpedans

Ingångsimpedansen för andra ordningens enhetsförstärkning Sallen–Key lågpassfilter är också av intresse för designers. Det ges av ekv. (3) i Cartwright och Kaminsky as

$Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+ s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},$

där $s'={\frac {s}{\omega _{0}}}$ och $k= {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}$ .

Dessutom, för $Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}$ finns det ett minimalt värde på impedansens storlek, givet av ekv. (16) av Cartwright och Kaminsky, som anger detta

$|Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2 }}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k ^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.$

Lyckligtvis är denna ekvation väl approximerad av

$|Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2} +k^{2}+0,34}}}$

för $0,25\leq k\leq 0,75$ . För $k$ -värden utanför detta intervall måste 0,34-konstanten modifieras för minimalt fel.

Frekvensen vid vilken den minimala impedansstorleken uppträder ges av ekv. (15) av Cartwright och Kaminsky, dvs.

$\omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q ^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.$

Denna ekvation kan också approximeras väl med Ekv. (20) av Cartwright och Kaminsky, som anger detta

$\omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}} }.$

Användning: högpassfilter

₀ Figur 4: Ett specifikt Sallen-Key högpassfilter med f = 72 Hz och Q = 0,5

Ett andra ordningens unity-gain högpassfilter med $f_{0}=72~{\text{Hz}}$ och $Q=0,5$ visas i figur 4 .

Ett andra ordningens unity-gain högpassfilter har överföringsfunktionen

$H(s)={\frac {\ omega _{0}^{2}s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{ 2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{ 0}^{2}}}},$

där odämpad egenfrekvens $f_{0}$ och $Q$ faktor diskuteras ovan i lågpassfilterdiskussionen . Kretsen ovan implementerar denna överföringsfunktion genom ekvationerna

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2 }C_{1}C_{2}}}}$

(som tidigare) och

${\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2 }C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.$

Så

$2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{ 2}C_{1}C_{2}}}.$

Följ ett tillvägagångssätt som liknar det som används för att designa lågpassfiltret ovan.

Användning: bandpassfilter

Figur 5: Ett bandpassfilter realiserat med en VCVS-topologi

Ett exempel på ett bandpassfilter med icke-enhetsförstärkning implementerat med ett VCVS-filter visas i figur 5. Även om det använder en annan topologi och en operationsförstärkare som är konfigurerad för att ge icke-enhetsförstärkning, kan den analyseras med liknande metoder som med den generiska Sallen–Key-topologin . Dess överföringsfunktion ges av

$H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{ G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}} +{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}} {R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}} {Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2 }}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.$

Mittfrekvensen $f_{0}$ (dvs frekvensen där magnitudresponsen har sin topp ) ges av

$f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2} R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.$

Q-faktorn $Q$ ges av

${\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _ {0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f} }R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1} }}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f} }C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}} R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left( R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}$

Spänningsdelaren i den negativa återkopplingsslingan styr den "inre förstärkningen" $G$ för operationsförstärkaren:

$G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.$

Om den inre förstärkningen $G$ är för hög kommer filtret att oscillera.

Se även

• Filterdesign
• Elektronisk filtertopologi
• Harmonisk oscillator
• Resonans

externa länkar

• Texas Instruments Application Report: Analys av Sallen-Key-arkitekturen
• Analog Devices filter design tool – Ett enkelt onlineverktyg för att designa aktiva filter med spänningsfeedback op-amps.
• TI aktivt filter designkälla FAQ
• Op Amps för alla – Kapitel 16
• Högfrekvent modifiering av Sallen-Key-filter - förbättrar stoppbandets dämpningsgolv
• Onlineberäkningsverktyg för Sallen–Key lågpass/högpassfilter
• Online beräkningsverktyg för filterdesign och analys
• ECE 327: Procedurer för Output Filtering Lab – Avsnitt 3 ("Smoothing Low-Pass Filter") diskuterar aktiv filtrering med Sallen–Key Butterworth lågpassfilter.
• Filtrering 101: Flerpoliga filter med Sallen-Key , Matt Duff från Analog Devices förklarar hur Sallen Key-kretsen fungerar