Mumford-Tate-gruppen

I algebraisk geometri är Mumford -Tate-gruppen (eller Hodge-gruppen ) MT ( F ) konstruerad från en Hodge-struktur F en viss algebraisk grupp G . När F ges av en rationell representation av en algebraisk torus , är definitionen av G som Zariski-stängningen av bilden i representationen av cirkelgruppen , över de rationella talen . Mumford ( 1966) introducerade Mumford-Tate-grupper över de komplexa talen under namnet Hodge-grupper. Serre (1967) introducerade p -adic-analogen av Mumfords konstruktion för Hodge-Tate-moduler , med hjälp av Tates ( 1967 ) arbete om p-delbara grupper , och gav dem namnet Mumford-Tate-grupper.

Formulering

Den algebraiska torus T som används för att beskriva Hodge-strukturer har en konkret matrisrepresentation, som de 2×2 inverterbara matriserna av formen som ges av verkan av a + bi på basis av {1, i } av de komplexa talen C över R :

{\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}.

Cirkelgruppen inuti denna grupp av matriser är den enhetliga gruppen U (1).

Hodge-strukturer som uppstår i geometrin, till exempel på kohomologigrupperna i Kähler grenrör , har ett gitter som består av de integrerade kohomologiklasserna. Det behövs inte fullt så mycket för definitionen av Mumford–Tate-gruppen, men det förutsätter att vektorrummet V som ligger bakom Hodge-strukturen har en given rationell struktur, dvs ges över de rationella talen Q . För teorins syften används det komplexa vektorrummet V _C , erhållet genom att förlänga skalärerna för V från Q till C .

Vikten k för Hodge-strukturen beskriver verkan av de diagonala matriserna för T , och V antas därför vara homogen med vikten k , under den verkan. Under inverkan av den fullständiga gruppen bryts VC upp i delrum V _pq , komplexkonjugerar i par under växling av p och q ^. Om man tänker på matrisen i termer av det komplexa talet λ den representerar, har V ^pq verkan av λ med p :te potensen och av det komplexa konjugatet av λ med q :te potens. Här nödvändigtvis

p + q = k .

I mer abstrakta termer är torus T som ligger till grund för matrisgruppen Weil-begränsningen av den multiplikativa gruppen GL (1), från det komplexa fältet till det reella fältet, en algebraisk torus vars karaktärsgrupp består av de två homomorfismerna till GL (1) , utbytt av komplex konjugation.

_{, bestämmer} den rationella representationen ρ av T på V som upprättar Hodge-strukturen F bilden ρ( U (1)) i GL ( VC ); och MT ( F ) är per definition den minsta algebraiska gruppen definierad över Q som innehåller denna bild.

Mumford-Tate gissningar

Det ursprungliga sammanhanget för formuleringen av gruppen i fråga var frågan om Galois-representationen på Tate-modulen av en abelisk sort A . Konjekturiskt bestäms bilden av en sådan Galois-representation, som är en l-adisk Lie-grupp för ett givet primtal l , av motsvarande Mumford-Tate-grupp G (som kommer från Hodge-strukturen på H ¹ ( A )), för att den utsträckning som kunskap om G bestämmer Lie-algebra för Galois-bilden. Denna gissning är känd endast i särskilda fall. Genom generaliseringar av denna gissning har Mumford-Tate-gruppen kopplats till den motiviska Galois-gruppen , och till exempel den allmänna frågan om att utvidga Sato-Tate-förmodan (nu ett teorem).

Period gissningar

En relaterad gissning om abelska varieteter säger att periodmatrisen för A över nummerfält har transcendensgrad , i betydelsen av fältet som genereras av dess poster, förutspått av dimensionen av dess Mumford–Tate-grupp, som i föregående avsnitt. Pierre Delignes arbete har visat att dimensionen begränsar transcendensgraden; så att Mumford-Tate-gruppen fångar tillräckligt många algebraiska samband mellan perioderna. Detta är ett specialfall av hela Grothendieck-periodens gissning.

Anteckningar

Mumford, David (1966), "Families of abelian varieties", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 347–351, MR 0206003
Serre, Jean-Pierre (1967), "Sur les groupes de Galois attachés aux groupes p-divisibles", i Springer, Tonny A. (red.), Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966) , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 118–131, ISBN 978-3-540-03953-2 , MR 0242839
Tate, John T. (1967), "p-delbara grupper." i Springer, Tonny A. (red.), Proc. Konf. Local Fields (Driebergen, 1966) , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0231827

externa länkar