Gruppen Barsotti–Tate

I algebraisk geometri liknar Barsotti-Tate-grupper eller p -delbara grupper ordningsställena en potens av p på en abelsk variation i karakteristiska p . De introducerades av Barsotti ( 1962 ) under namnet equidimensional hyperdomain och av Tate ( 1967 ) under namnet p-delbara grupper, och namngavs Barsotti-Tate-grupper av Grothendieck (1971) .

Definition

Tate (1967) definierade en p -delbar grupp av höjd h (över ett schema S ) att vara ett induktivt system av grupper G _n för n ≥0, så att G _n är ett ändligt gruppschema över S av ordningen p ^hn och sådant att G _n är (identifierad med) gruppen av ordningselement som är delbara med p ⁿ i G _{n +1} .

Mer generellt definierade Grothendieck (1971) en Barsotti-Tate-grupp G över ett schema S att vara en fppf -bunt av kommutativa grupper över S som är p -delbar, p -torsion, så att punkterna G (1) av ordningen p av G är (representerade av) ett ändligt lokalt fritt system. Gruppen G (1) har rang p ^h för någon lokalt konstant funktion h på S , kallad rang eller höjd för gruppen G . Undergruppen G ( n ) av ordningspunkter pn är ett schema av rang pnh ^, och G är den direkta gränsen för dessa undergrupper ^.

Exempel

Ta G _n för att vara den cykliska gruppen av ordningen p ⁿ (eller snarare det gruppschema som motsvarar den). Detta är en p -delbar grupp med höjd 1.
Ta G _n för att vara gruppschemat för p ^n: te rötter av 1. Detta är en p -delbar grupp med höjd 1.
Ta G _n för att vara undergruppsschemat av element av ordningen p ⁿ av en abelsk sort. Detta är en p -delbar grupp med höjden 2 d där d är dimensionen för den abelska sorten.

Barsotti, Iacopo (1962), "Analytiska metoder för abelska sorter i positiva egenskaper", Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruxelles, 1962) , Librairie Universitaire, Louvain, s. 77–85, MR 0155827
Demazure, Michel (1972), Föreläsningar om p-delbara grupper , Lecture Notes in Mathematics, vol. 302, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0060741 , ISBN 978-3-540-06092-5 , MR 0344261
Dolgachev, IV (2001) [1994], "P-delbar grupp" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti-Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) , vol. 1, Gauthier-Villars, s. 431–436, MR 0578496 , arkiverad från originalet 2017-11-25 , hämtad 2010-11-25
de Jong, AJ (1998), "Barsotti-Tate-grupper och kristaller" , Documenta Mathematica , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998), II : 259–265, ISSN 1431-0635 , MR 1648076
Messing, William (1972), Kristallerna förknippade med Barsotti-Tate-grupper: med tillämpningar till abeliska scheman, Lecture Notes in Mathematics, vol. 264, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058301 , MR 0347836
Serre, Jean-Pierre (1995) [1966], "Groupes p-divisibles (d'après J. Tate), Exp. 318" , Séminaire Bourbaki , vol. 10, Paris: Société Mathématique de France , s. 73–86, MR 1610452
Tate, John T. (1967), "p-delbara grupper." i Springer, Tonny A. (red.), Proc. Konf. Local Fields (Driebergen, 1966) , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0231827