Weil begränsning

Inom matematik är restriktion av skalärer (även känd som "Weil-restriktion") en funktion som , för varje finit förlängning av fälten L/k och vilken algebraisk variant X över L , producerar en annan sort Res _{L / k} X , definierad över k . Det är användbart för att reducera frågor om sorter över stora fält till frågor om mer komplicerade sorter över mindre fält.

Definition

Låt L/k vara en finit förlängning av fält, och X en variation definierad över L . Funktionen $\operatorname {Res} _{L/k}X$ från k - scheman ^op till uppsättningar definieras av

$\operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\ gånger _{k}L)$

(Särskilt de k -rationella punkterna för $\operatorname {Res} _{L/k}X$ är de L -rationella punkterna för X .) Variationen som representerar denna funktion kallas begränsningen av skalärer, och är unik upp till unik isomorfism om den existerar.

Ur ståndpunkten för serieskivor är begränsningen av skalärer bara en framskjutning längs morfismen $\operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)$ och är rätt angränsande till fiberprodukt av scheman , så definitionen ovan kan omformuleras i mycket mer allmänt. I synnerhet kan man ersätta förlängningen av fält med valfri morfism av ringade topoi , och hypoteserna på X kan försvagas till t.ex. staplar. Detta kommer till priset av att ha mindre kontroll över beteendet för begränsningen av skalärer.

Alternativ definition

Låt $h:S'\to S$ vara en morfism av scheman . För ett $S'$ -schema $X$ , om den kontravarianta funktorn

$\operatorname {Res} _{S'/ S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S' ,X)$

är representabel , då kallar vi motsvarande $S$ -schema, vilket vi också betecknar med $\operatorname {Res} _{S'/S}(X)$ , Weil-begränsningen för $X$ med avseende på $h$ .

Där $\mathbf {Sch/S} ^{op}$ betecknar dualen av kategorin av scheman över ett fast schema $S$ .

Egenskaper

För varje ändlig utvidgning av fält, tar begränsningen av skalärer kvasiprojektiva varianter till kvasiprojektiva varianter. Dimensionen på den resulterande sorten multipliceras med graden av förlängning.

Under lämpliga hypoteser (t.ex. platt, korrekt, ändligt presenterad), ger varje morfism $T\to S$ av algebraiska utrymmen en begränsning av skalärfunktioner som tar algebraiska stackar till algebraiska stackar, vilket bevarar egenskaper som Artin, Deligne-Mumford och representabilitet.

Exempel och tillämpningar

Enkla exempel är följande:

1. Låt L vara en ändlig förlängning av k av grad s. Då $\operatörsnamn {Res} _{L/k}(\operatörsnamn {Spec} (L))=\operatörsnamn {Spec} ( k)$ och $\operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}$ är ett s -dimensionellt affint utrymme $\mathbb { A} ^{s}$ över Spec k .
2. Om X är en affin L -varietet, definierad av
   $$X=\operatörsnamn {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m});$$
   vi kan skriva $\operatorname {Res} _{L/k}X$ som Spec $k[y_{i, j}]/(g_{l,r})$ , där y _i,j ( $1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$ ) är nya variabler, och g _l,r ( ${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s} )$ är polynom i ${ \displaystyle y_{i,j}}$ ges genom att ta en k -bas $e_{1},\dots ,e_{s}$ av L och inställningen $x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s}$ och $f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s}$ .

Om ett schema är ett gruppschema kommer alla Weil-begränsningar av det också att vara det. Detta används ofta i talteorin, till exempel:

1. Torus
   $$\mathbb {S} :=\operatörsnamn {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}$$
   där $\mathbb {G} _{m}$ betecknar den multiplikativa gruppen, spelar en betydande roll i Hodge-teorin, eftersom den Tannakiska kategorin av verkliga Hodge-strukturer är ekvivalent med kategorin representationer av $\mathbb {S} .$ De verkliga punkterna har en Lie-gruppstruktur som är isomorf till $\mathbb {C} ^{\times }$ . Se Mumford–Tate-gruppen .
2. Weil-begränsningen $\operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G}$ av en (kommutativ) gruppvariant $\mathbb {G}$ är återigen en ( kommutativ) grupp variation av dimension $[L:k]\dim \mathbb {G} ,$ om L är separerbar över k . Aleksander Momot tillämpade Weil-restriktioner för kommutativa gruppvarianter med $k=\mathbb {R}$ och $L=\mathbb {C}$ för att härleda nya resultat inom transcendensteorin som var baserat på ökningen av algebraisk dimension.
3. Begränsning av skalärer på abelska sorter (t.ex. elliptiska kurvor ) ger abelska sorter, om L är separerbar över k . James Milne använde detta för att reducera Birch- och Swinnerton-Dyer-förmodan för abelska sorter över alla nummerfält till samma gissning över rationalerna.
4. I elliptisk kurvkryptografi använder Weil -nedstigningsattacken Weil-restriktionen för att transformera ett diskret logaritmproblem på en elliptisk kurva över ett ändligt förlängningsfält L/K, till ett diskret logproblem på den jakobianska varianten av en hyperelliptisk kurva över basfältet K , som är potentiellt lättare att lösa på grund av K:s mindre storlek.

Weil-restriktioner kontra Greenberg-förvandlingar

Begränsning av skalärer liknar Greenberg-transformen, men generaliserar den inte, eftersom ringen av Witt-vektorer på en kommutativ algebra A i allmänhet inte är en A -algebra.

Den ursprungliga referensen är avsnitt 1.3 i Weils föreläsningar 1959-1960, publicerade som:

• Andre Weil. "Adeles och algebraiska grupper", Framsteg i matematik. 23 , Birkhäuser 1982. Anteckningar från föreläsningar hållna 1959-1960.

Andra referenser:

• Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud. "Néron models", Springer-Verlag, Berlin 1990.
• James S. Milne. "Om aritmetiken av abelska sorter", Invent. Matematik. 17 (1972) 177-190.
• Martin Olsson. "Hom stackar och begränsning av skalärer", Duke Math J., 134 (2006), 139–164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Björn Poonen. "Rationella poäng på sorter", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Nigel Smart , Weils härkomstsida med bibliografi, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html
• Aleksander Momot, "Densitet av rationella punkter på kommutativa gruppvarianter och liten transcendensgrad", https://arxiv.org/abs/1011.3368