Moreaus teorem

Inom matematiken är Moreaus sats ett resultat i konvex analys uppkallad efter den franske matematikern Jean-Jacques Moreau . Den visar att tillräckligt väluppfostrade konvexa funktionaler på Hilbert-utrymmen är differentierbara och derivatan är väl approximerad av den så kallade Yosida-approximationen, som definieras i termer av resolventoperatorn .

Uttalande av satsen

Låt H vara ett Hilbertmellanrum och låt φ : H → R ∪ {+∞} vara en riktig , konvex och lägre semi-kontinuerlig utvidgad realvärderad funktional på H . Låt A stå för ∂ φ , subderivatan av φ ; för α > 0 låt J _α beteckna upplösningsmedlet:

$J_{\alpha }=(\mathrm {id} +\alpha A)^{-1};$

och låt A _α beteckna Yosida approximation till A :

$A_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}(\mathrm {id} -J_{\alpha }).$

För varje α > 0 och x ∈ H , låt

$\varphi _{\alpha }(x)=\inf _{y\in H}{\frac {1}{2\alpha }}\|yx\|^{2}+\varphi (y) .$

Sedan

$\varphi _{\alpha }(x)={\frac {\alpha }{2}}\| A_{\alpha }x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha }(x))$

och φ _α är konvex och Fréchet differentierbar med derivatan d φ _α = A _α . Dessutom, för varje x ∈ H (punktvis), konvergerar φ _α ( x ) uppåt till φ ( x ) som α → 0.

•   Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operatorer i Banachs rymd och olinjära partiella differentialekvationer . Matematiska undersökningar och monografier 49. Providence, RI: American Mathematical Society. s. 162–163. ISBN 0-8218-0500-2 . MR 1422252 (Proposition IV.1.8)