Modulo (matematik)
används ofta termen modulo ( "med avseende på en modul av", det latinska ablativ av modul som i sig betyder "ett litet mått") för att hävda att två distinkta matematiska objekt kan betraktas som likvärdiga - om deras skillnad är en ytterligare faktor. Det introducerades ursprungligen i matematiken i samband med modulär aritmetik av Carl Friedrich Gauss 1801. Sedan dess har termen fått många betydelser – vissa exakta och andra oprecisa (som att likställa "modulo" med "utom för"). För det mesta förekommer termen ofta i uttalanden av formen:
- A är samma som B modulo C
som betyder
- A och B är desamma — förutom skillnader som redovisas eller förklaras av C .
Historia
Modulo är en matematisk jargong som introducerades i matematiken i boken Disquisitiones Arithmeticae av Carl Friedrich Gauss 1801. Givet heltalen a , b och n , uttrycket " a ≡ b (mod n )", uttalat " a är kongruent med b modulo n ", betyder att a − b är en heltalsmultipel av n , eller ekvivalent, a och b delar båda på samma återstod när de divideras med n . Det är det latinska ablativ av modulus , som i sig betyder "ett litet mått".
Termen har fått många betydelser genom åren - vissa exakta och andra oprecisa. Den mest allmänna exakta definitionen är helt enkelt i termer av en ekvivalensrelation R , där a är ekvivalent (eller kongruent) med b modulo R om aRb . Mer informellt finns termen i uttalanden i formen:
- A är samma som B modulo C
som betyder
- A och B är desamma — förutom skillnader som redovisas eller förklaras av C .
Användande
Originalanvändning
Gauss tänkte ursprungligen använda "modulo" enligt följande: givet heltalen a , b och n , betyder uttrycket a ≡ b (mod n ) (uttalas " a är kongruent med b modulo n ") att a − b är en heltalsmultipel av n eller ekvivalent, a och b lämnar båda samma återstod när de divideras med n . Till exempel:
- 13 är kongruent med 63 modulo 10
betyder att
- 13 − 63 är en multipel av 10 (ekvivalent, 13 och 63 skiljer sig med en multipel av 10).
Datoranvändning
Inom datavetenskap och datavetenskap kan termen användas på flera sätt:
- Vid beräkning är det typiskt modulo- operationen: givet två tal (antingen heltal eller reellt), a och n , är a modulo n resten av den numeriska divisionen av a med n , under vissa begränsningar.
- I kategoriteori som tillämpas på funktionell programmering är "operating modulo" en speciell jargong som hänvisar till att mappa en funktion till en kategori genom att markera eller definiera rester.
Strukturer
Termen "modulo" kan användas på olika sätt - när det hänvisar till olika matematiska strukturer. Till exempel:
- Två medlemmar a och b i en grupp är kongruenta modulo en normal undergrupp , om och endast om ab −1 är en medlem av den normala undergruppen (se kvotgrupp och isomorfismsats för mer).
- Två medlemmar av en ring eller en algebra är kongruenta modulo an ideal , om skillnaden mellan dem är i idealet.
- Används som ett verb kallas handlingen att faktorisera ut en normal undergrupp (eller ett ideal) från en grupp (eller ring) ofta " modding out the..." eller "we now mod out the...".
- Två delmängder av en oändlig mängd är lika modulo finita mängder precis om deras symmetriska skillnad är finit, det vill säga du kan ta bort en finit bit från den första delmängden, sedan lägga till en finit bit till den och få den andra delmängden som ett resultat.
- En kort exakt sekvens av kartor leder till definitionen av ett kvotutrymme som ett rum modulo ett annat; alltså, till exempel, att en kohomologi är utrymmet för slutna former modulo exakta former.
Modding out
I allmänhet är modding out en något informell term som betyder att deklarera saker likvärdiga som annars skulle anses vara distinkta. Anta till exempel att sekvensen 1 4 2 8 5 7 ska betraktas som densamma som sekvensen 7 1 4 2 8 5, eftersom var och en är en cykliskt förskjuten version av den andra:
I så fall "moddar man ut genom cykliska skift ".