I grunden unik

I matematik används termen väsentligen unik för att beskriva en svagare form av unikhet, där ett objekt som uppfyller en egenskap är "unikt" endast i den meningen att alla objekt som uppfyller egenskapen är likvärdiga med varandra . Begreppet väsentlig unikhet förutsätter någon form av "likhet", som ofta formaliseras med hjälp av en ekvivalensrelation .

Ett relaterat begrepp är en universell egenskap , där ett objekt inte bara är väsentligen unikt, utan unikt upp till en unik isomorfism (vilket betyder att det har en trivial automorfismgrupp ). I allmänhet kan det finnas mer än en isomorfism mellan exempel på ett väsentligen unikt objekt.

Exempel

Mängdlära

På den mest grundläggande nivån finns det en väsentligen unik uppsättning av varje given kardinalitet , oavsett om man märker elementen $\{1,2,3\}$ eller $\{a,b,c\}$ . I det här fallet återspeglas isomorfismens icke-unikhet (t.ex. matcha 1 till $a$ eller 1 till ${\displaystyle c} ) i den$ symmetriska gruppen .

Å andra sidan finns det en väsentligen unik ordnad uppsättning av varje given finit kardinalitet: om man skriver $\{1<2<3\}$ och ${ \displaystyle \{a<b<c\}}$ , då är den enda ordningsbevarande isomorfismen den som mappar 1 till $a$ , 2 till $b$ och 3 till $c$ .

Talteori

Aritmetikens grundsats slår fast att faktoriseringen av alla positiva heltal till primtal är väsentligen unik, dvs unik upp till ordningen av primtalsfaktorerna.

Gruppteori

I samband med klassificering av grupper finns det en väsentligen unik grupp som innehåller exakt 2 element. På samma sätt finns det också en väsentligen unik grupp som innehåller exakt 3 element: den cykliska gruppen av ordning tre. Faktum är att, oavsett hur man väljer att skriva de tre elementen och beteckna gruppoperationen, kan alla sådana grupper visas vara isomorfa till varandra, och därför är "samma".

Å andra sidan finns det inte en väsentligen unik grupp med exakt 4 element, eftersom det i detta fall finns två icke-isomorfa grupper totalt: den cykliska gruppen av ordning 4 och Klein fyra-gruppen .

Mät teori

Det finns ett väsentligen unikt mått som är translationsinvariant , strikt positivt och lokalt ändligt på den verkliga linjen . Faktum är att varje sådant mått måste vara en konstant multipel av Lebesgue-måttet , vilket anger att måttet på enhetsintervallet ska vara 1 - innan lösningen bestäms unikt.

Topologi

Det finns ett i grunden unikt tvådimensionellt, kompakt , enkelt anslutet grenrör : 2-sfären . I det här fallet är det unikt upp till homeomorfism .

Inom området för topologi som kallas knutteori , finns det en analog till aritmetikens grundläggande sats: nedbrytningen av en knut till summan av primknutar är i grunden unik.

Lögnteori

En maximal kompakt undergrupp av en halvenkel Lie-grupp kanske inte är unik, men är unik upp till konjugering.

Kategoriteori

Ett objekt som är gränsen eller samgränsen över ett givet diagram är i huvudsak unikt, eftersom det finns en unik isomorfism för alla andra begränsande/sambegränsande objekt.

Kodningsteori

Med tanke på uppgiften att använda 24- bitars ord för att lagra 12 bitar av information på ett sådant sätt att 7-bitars fel kan upptäckas och 3-bitars fel kan korrigeras, är lösningen i grunden unik: den utökade binära Golay- koden .

Se även

• Klassificeringssats
• Modulo , en matematisk term som hänför sig till objektens ekvivalens
• Universell egendom
• Upp till