Singularitetsfunktion

Singularitetsfunktioner är en klass av diskontinuerliga funktioner som innehåller singulariteter , dvs de är diskontinuerliga vid sina singulariteter. Singularitetsfunktioner har studerats flitigt inom matematikområdet under de alternativa namnen generaliserade funktioner och distributionsteori . Funktionerna är noterade med hakparenteser, som $\langle xa\rangle ^{n}$ där n är ett heltal. " $\langle \rangle$ " hänvisas ofta till som singularitetsparenteser . Funktionerna definieras som:

n	$\langle xa\rangle ^{n}$
$<0$	${\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (xa)\,$
-2	${\frac {d}{dx}}\delta (xa)\,$
-1	$\delta (xa)\,$
0	$H(xa)\,$
1	$(xa)H(xa)\,$
2	$(xa)^{2}H(xa)$
$\geq 0$	$(xa)^{n}H(xa)$

där: δ ( x ) är Dirac delta-funktionen , även kallad enhetsimpuls. Förstaderivatan av δ ( x ) kallas också enhetsdubbletten . Funktionen $H(x)$ är Heaviside-stegfunktionen : H ( x ) = 0 för x < 0 och H ( x ) = 1 för x > 0 . Värdet på H (0) kommer att bero på den speciella konvention som valts för Heaviside-stegfunktionen. Observera att detta endast kommer att vara ett problem för n = 0 eftersom funktionerna innehåller en multiplikativ faktor på x − a för n > 0 . $\langle xa\rangle ^{1}$ kallas också rampfunktionen .

Integration

0 Att integrera $\langle xa\rangle ^{n}$ kan göras på ett bekvämt sätt där integrationskonstanten automatiskt inkluderas så att resultatet blir x = a .

$$\int \langle xa\rangle ^{n} dx={\begin{cases}\langle xa\rangle ^{n+1},&n<0\\{\frac {\langle xa\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\ geq 0\end{cases}}$$

Exempel strålberäkning

Avböjningen av en enkelt stödd balk som visas i diagrammet, med konstant tvärsnitt och elasticitetsmodul, kan hittas med hjälp av Euler-Bernoullis balkteori . Här använder vi teckenkonventionen om nedåtgående krafter och hängande böjmoment som är positiva.

Lastfördelning:

$w=-3{\text{ N}}\langle x -0\rangle ^{-1}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{0}\ -\ 9{\text { N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{-1}$

Skjuvkraft:

$S=\int w\,dx$

${\ displaystyle S=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{0}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m} }\rangle ^{1}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{0}\,}$

Böjningsmoment:

$M=-\int S\,dx$

$M=3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{1}\ -\ 3{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{1}\,$

Backe:

$u'={\frac {1}{EI}}\int M\,dx$

Eftersom lutningen inte är noll vid x = 0, är ​​en integrationskonstant, c , adderas

$u'= {\frac {1}{EI}}\left({\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{2}\ -\ 1{\text{ Nm }}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ {\frac {9}{2}}{\text{ N}}\langle x-4 {\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ c\right)\,$

Böjning:

$u=\int u'\,dx$

$u={\frac {1}{EI}}\left({\frac {1}{2}}{\text{ N}}\langle x -0\rangle ^{3}\ -\ {\frac {1}{4}}{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{4 }\ +\ {\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ cx\right)\,$

Gränsvillkoret u = 0 vid x = 4 m tillåter oss att lösa för c = −7 Nm ²

Se även

• Macaulay fästen
• Macaulays metod

externa länkar

• Singularitetsfunktioner (Tim Lahey)
• Singularitetsfunktioner (J. Lubliner, Institutionen för bygg- och miljöteknik)
• Balkar: Deformation av singularitetsfunktioner (Dr. Ibrahim A. Assakkaf)