Enkelriktad vågekvation

En enkelriktad vågekvation är en första ordningens partiell differentialekvation som beskriver en våg som rör sig i en riktning som definieras av vektorvågens hastighet. Den står i kontrast till andra ordningens tvåvägsvågekvation som beskriver ett stående vågfält som är ett resultat av överlagring av två vågor i motsatta riktningar. I det endimensionella fallet tillåter envägsvågekvationen vågutbredning att beräknas utan den matematiska komplikationen av att lösa en differentialekvation av andra ordningen. På grund av det faktum att ingen 3D-envägsvågekvation har kunnat hittas under de senaste decennierna används många approximationsmetoder baserade på 1D-envägsvågekvationen för 3D-seismiska och andra geofysiska beräkningar, se även avsnittet § Tredimensionellt fall .

Endimensionell låda

Den skalära andra ordningens (tvåvägs) vågekvationen som beskriver ett stående vågfält kan skrivas som:

$${\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\ frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,$$

där $x$ är koordinaten, $t$ är tid, $s=s(x,t)$ är förskjutningen och $c$ är våghastigheten.

På grund av tvetydigheten i våghastighetens riktning, $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{ 2}$ , innehåller ekvationen ingen information om vågriktningen och har därför lösningar som fortplantar sig i både framåt ( $+x$ ) och bakåt ( $-x$ ) riktningar. Den allmänna lösningen av ekvationen är summeringen av lösningarna i dessa två riktningar är:

$$s(x,t)=s_{+}(tx/c)+s_{-} (t+x/c)$$

där $s_{+}$ och $s_{-}$ är förskjutningsamplituderna för vågorna som löper i $+c$ och $-c$ riktning.

När ett envägsvågproblem formuleras måste vågens utbredningsriktning väljas (manuellt) genom att behålla en av de två termerna i den allmänna lösningen.

Att faktorisera operatorn på vänster sida av ekvationen ger ett par enkelriktade vågekvationer, en med lösningar som fortplantar sig framåt och den andra med lösningar som fortplantar sig bakåt.

$${(\visa stil \le {2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \ partiell t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,}$$

De framåt- och bakåtgående vågorna beskrivs respektive,

$${\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{ \frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}$$

Envägsvågekvationerna kan också fysiskt härledas direkt från specifik akustisk impedans.

I en longitudinell planvåg bestämmer den specifika impedansen den lokala proportionaliteten för trycket $p=p(x,t)}$$v =v(x,t)$ och partikelhastigheten :

$${\frac {p}{v}}=\rho c,$$

med $\rho$ = densitet.

Omvandlingen av impedansekvationen leder till:

$$v-{\frac {1}{\rho c}}p=0$$

 

 

 

 

()

En longitudinell planvåg med vinkelfrekvens $\omega$ har förskjutningen $s=s(x,t)$ .

Trycket $p$ och partikelhastigheten $v$ kan uttryckas i termer av förskjutningen $s$ ( $E$ : Elastic Modulus ) :

$$p:=E{\partial s \over \partial x}$$

för 1D-fallet är detta i full analogi med spänning $\sigma$ i mekanik : ${\displaystyle \sigma =E\varepsilon } ,$ där töjning definieras som $\ varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$

$$v={\partial s \over \partial t}$$

Dessa relationer infogade i ekvationen ovan ( ⁎ ) ger:

$${\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0$$

Med den lokala våghastighetsdefinitionen ( ljudhastighet ):

$$c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}$$

direkt(!) följer 1:a ordningens partiella differentialekvation för envägsvågekvationen:

$${{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}$$

Våghastigheten $c$ kan ställas in inom denna vågekvation som $+c$ eller $-c$ enligt vågens utbredningsriktning.

För vågutbredning i riktningen $+c$ är den unika lösningen

$$s(x,t)=s_{+}(tx/c)$$

och för vågutbredning i $-c$ -riktningen är respektive lösning

$$s(x,t)=s_{-}(t+x/c)$$

Det finns också en sfärisk envägsvågekvation som beskriver vågutbredningen av en monopolljudkälla i sfäriska koordinater, dvs i radiell riktning. Genom en modifiering av den radiella nabla -operatorn löses en inkonsekvens mellan sfärisk divergens och Laplace-operatorer och den resulterande lösningen visar inte Bessel-funktioner (i motsats till den kända lösningen med den konventionella tvåvägsmetoden).

Tredimensionell låda

Envägsekvationen och lösningen i det tredimensionella fallet antogs vara liknande sätt som för det endimensionella fallet genom en matematisk nedbrytning (faktorisering) av en differentialekvation av 2:a ordningen. Faktum är att 3D-envägsvågekvationen kan härledas från första principer: a) härledning från impedanssatsen och b) härledning från en tensorial impulsflödesjämvikt i en fältpunkt.

Inhomogena medier

För inhomogena medier med platsberoende elasticitetsmodul $E(x)$ , densitet $\rho (x)$ och våghastighet $c(x)$ en analytisk lösning av envägsvågekvationen kan härledas genom införande av en ny fältvariabel.

Ytterligare mekaniska och elektromagnetiska vågor

Metoden för PDE-faktorisering kan också överföras till andra vågekvationer av 2:a eller 4:e ordningen, t.ex. transversal, och sträng, Moens/Korteweg, böjnings- och elektromagnetiska vågekvationer och elektromagnetiska vågor.

Se även

• Vågekvation – Differentialvågsekvation viktig inom fysiken
• Stående våg – Våg som förblir i ett konstant läge