Linjär kanonisk transformation

I Hamiltonsk mekanik är den linjära kanoniska transformationen ( LCT ) en familj av integrerade transformationer som generaliserar många klassiska transformationer. Den har 4 parametrar och 1 begränsning, så det är en 3-dimensionell familj och kan visualiseras som verkan av den speciella linjära gruppen SL ₂ ( R ) på tid-frekvensplanet (domän). Eftersom detta definierar den ursprungliga funktionen upp till ett tecken, översätts detta till en handling av dess dubbla täckning på det ursprungliga funktionsutrymmet.

LCT generaliserar Fourier- , bråk- Fourier- , Laplace- , Gauss–Weierstrass- , Bargmann- och Fresnel -transformerna som särskilda fall. Namnet "linjär kanonisk transformation" kommer från kanonisk transformation , en karta som bevarar den symplektiska strukturen, eftersom SL ₂ ( R ) också kan tolkas som den symplektiska gruppen Sp ₂ , och därför är LCT:er de linjära kartorna av tids-frekvensdomänen som bevarar den symplektiska formen och deras verkan på Hilbertrummet ges av den metaplektiska gruppen .

De grundläggande egenskaperna hos de transformationer som nämns ovan, såsom skalning, skiftning, koordinatmultiplikation beaktas. Varje linjär kanonisk transformation är relaterad till affina transformationer i fasrymden, definierade av tid-frekvens eller position-momentum-koordinater.

Definition

LCT kan representeras på flera sätt; enklast kan den parametriseras av en 2×2-matris med determinant 1, dvs. ett element i den speciella linjära gruppen SL ₂ ( C ). Sedan för en sådan matris $\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right),$ med ad − bc = 1, motsvarande integraltransform från en funktion $x(t)$ till ${\displaystyle X(u)} som$ definieras

$$X_{(a,b,c,d)}(u)={\begin {fall}{\sqrt {\frac {1}{ib}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^ {\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\ ,dt,&{\text{när }}b\neq 0,\\{\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(d\cdot u),&{\ text{när }}b=0.\end{case}}$$

Speciella fall

Många klassiska transformationer är specialfall av den linjära kanoniska transformationen:

Skalning

Skalning , ${\displaystyle x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)} ,$ motsvarar att skala tids- och frekvensdimensionerna omvänt (som tid går snabbare, frekvenserna är högre och tidsdimensionen krymper):

$${\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}$$

Fouriertransform

Fouriertransformen motsvarar en rotation medurs med 90° i tid-frekvensplanet, representerat av matrisen

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.$$

Fraktionell Fouriertransform

Den bråkdelar Fouriertransformen motsvarar rotation med en godtycklig vinkel; de är de elliptiska elementen i SL ₂ ( R ), representerade av matriserna

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{ bmatrix}}.$$

Fouriertransformen är den fraktionerade Fouriertransformen när $\theta =90^{\circ }.$ Den inversa Fouriertransformen motsvarar $\theta =-90^{\circ }.$

Fresnel transformation

Fresnel -transformen motsvarar skjuvning och är en familj av paraboliska element , representerade av matriserna

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{ bmatrix}},$$

där z är avstånd och λ är våglängd.

Laplace transformation

Laplace -transformen motsvarar rotation med 90° in i den komplexa domänen och kan representeras av matrisen

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.$$

Fractional Laplace-transform

Den fraktionerade Laplace-transformen motsvarar rotation med en godtycklig vinkel in i den komplexa domänen och kan representeras av matrisen

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.$$

Laplacetransformen är den bråkdelar Laplacetransformen när $\theta =90^{\circ }.$ Den inversa Laplace-transformen motsvarar $\theta =-90^{\circ }.$

Chirp multiplikation

Chirp multiplikation, ${\displaystyle x(u)\mapsto e^{i\pi \tau u^{2}}x(u)} ,$ motsvarar $b=0,c=\tau$ :

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}.$$

Sammansättning

Sammansättningen av LCT motsvarar multiplikation av motsvarande matriser; detta är också känt som additivitetsegenskapen för Wigner-distributionsfunktionen ( WDF). Ibland kan produkten av transformationer plocka upp en teckenfaktor på grund av att man väljer en annan gren av kvadratroten i definitionen av LCT. I litteraturen kallas detta för den metaplektiska fasen .

Om LCT betecknas med ${\displaystyle O_{F}^{(a,b,c,d)}} ,$ dvs.

$$X_{(a,b,c,d)}(u) =O_{F}^{(a,b,c,d)}[x(t)],$$

sedan

$$O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}\left\{O_{F} ^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a_{3},b_{3 },c_{3},d_{3})}[x(t)],$$

var

$${\begin{bmatrix}a_{3}&b_{3}\\c_{3}&d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\ c_{2}&d_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{bmatrix}}.$$

Om $W_{X(a,b,c,d)}(u,v)$ är $X_{(a,b,c,d)}(u)$ , där $X_{(a,b,c, d)}(u)$ är LCT för $x(t)$ , då

$$W_{X(a,b,c,d)} (u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av),$$

$$W_{X(a,b,c,d)}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v).$$

LCT är lika med vridningsoperationen för WDF och Cohens klassfördelning har också vridningsoperationen.

Vi kan fritt använda LCT för att transformera parallellogrammet vars centrum är vid (0, 0) till ett annat parallellogram som har samma area och samma centrum:

Från denna bild vet vi att punkten (−1, 2) transformeras till punkten (0, 1), och punkten (1, 2) transformeras till punkten (4, 3). Som ett resultat kan vi skriva ner ekvationerna

$${\begin{cases}-a+2b=0,\\- c+2d=1,\end{cases}}\qquad {\begin{cases}a+2b=4,\\c+2d=3.\end{cases}}$$

Lös dessa ekvationer ger ( a , b , c , d ) = (2, 1, 1, 1).

Inom optik och kvantmekanik

Paraxiella optiska system implementerade helt med tunna linser och spridning genom fritt utrymme och/eller media med graderat index (GRIN), är kvadratiska fassystem (QPS); dessa var kända innan Moshinsky och Quesne (1974) uppmärksammade deras betydelse i samband med kanoniska transformationer inom kvantmekaniken. Effekten av godtycklig QPS på ett ingångsvågfält kan beskrivas med hjälp av den linjära kanoniska transformationen, vars speciella fall utvecklades av Segal (1963) och Bargmann (1961) för att formalisera Focks (1928) bosonkalkyl.

Inom kvantmekaniken kan linjära kanoniska transformationer identifieras med de linjära transformationerna som blandar momentumoperatorn med positionsoperatorn och lämnar de kanoniska kommuteringsrelationerna oföränderliga .

Ansökningar

Kanoniska transformationer används för att analysera differentialekvationer. Dessa inkluderar diffusion , den fria Schrödinger-partikeln , den linjära potentialen (fritt fall) och de attraktiva och repulsiva oscillatorekvationerna. Den innehåller också några andra som Fokker–Planck-ekvationen . Även om denna klass är långt ifrån universell, gör den lätthet med vilken lösningar och egenskaper hittas kanoniska transformationer till ett attraktivt verktyg för problem som dessa.

Vågutbredning genom luft, en lins och mellan parabolantenner diskuteras här. Alla beräkningar kan reduceras till 2×2 matrisalgebra. Detta är andan i LCT.

Elektromagnetisk vågutbredning

figuren , rör sig vågen från ( x _i , y _i )-planet till ( x , y )-planet. Fresnel -transformen används för att beskriva elektromagnetisk vågutbredning i fritt utrymme:

$$U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}} \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}\left[(x-x_{i} )^{2}+(y-y_{i})^{2}\right]}U_{i}(x_{i},y_{i})\,dx_{i}\,dy_{i},$$

var

$k=2\pi /\lambda$ är vågtalet ,

λ är våglängden ,

z är utbredningsavståndet,

$j={\sqrt {-1 }}$ är den imaginära enheten.

Detta motsvarar LCT (skjuvning), när

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.$$

När färdsträckan ( z ) är större blir skjuveffekten större.

Sfärisk lins

Med linsen som avbildas i figuren och brytningsindexet betecknat som n , blir resultatet

$$U_{0}(x,y)=e^{jkn \Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y),$$

där f är brännvidden och Δ är linsens tjocklek.

Distorsionen som passerar genom linsen liknar LCT, när

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.$$

Detta är också en skjuveffekt: när brännvidden är mindre är skjuvningseffekten större.

Sfärisk spegel

Den sfäriska spegeln—t.ex. en parabol—kan beskrivas som en LCT, med

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.$$

Detta är mycket likt objektivet, förutom att brännvidden ersätts av skålens radie R. En sfärisk spegel med radiekrökning på R är ekvivalent med en tunn lins med brännvidden f = − R /2 (enligt konvention, R < 0 för konkav spegel, R > 0 för konvex spegel). Därför, om radien är mindre, är skjuveffekten större.

Ledfritt utrymme och sfärisk lins

Relationen mellan input och output kan vi använda LCT för att representera

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{2}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\ \-1/\lambda f&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-z_{2}/f& \lambda (z_{1}+z_{2})-\lambda z_{1}z_{2}/f\\-1/\lambda f&1-z_{1}/f\end{bmatrix}}\,.$$

1. Om $z_{1}=z_{2}=2f$ är det omvänd verklig bild.
2. Om $z_{1}=z_{2}=f$ är det Fouriertransform+skalning
3. Om $z_{1}=z_{2}$ är det bråkdel Fouriertransform+skalning

Grundläggande egenskaper

I denna del visar vi de grundläggande egenskaperna hos LCT

Operatör	Matris för transformation
$L(T)$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$L(T_{1})L(T_{2})$	$T_{2}T_{1}$
$L^{-1}(T)=L(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix }}$
$L({\widehat {T}})=L^{*}(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&b^{t}\\c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$F$	${\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}$
${\begin{cases}FL(T)F^ {-1}=L^{*}(T^{t-1})\\F^{-1}L(T)F=L^{*}(T^{t-1})\end{ fall}}$	${\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}$

Givet en tvådimensionell kolumnvektor $r={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$ visar vi några grundläggande egenskaper (resultat) för den specifika ingången nedan :

Inmatning	Produktion	Anmärkning
$f_{i}(r)$	$f_{o}(r)=L(T){\displaystyle f_{i}(r)},$ där $T={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$\sum _{n}a_{n}f_{n}(r)$	$\sum _{n}a_{n}Lf_{n}(r)$	linjäritet
$f_{i}(r),h_{i}(r)$	$\int f_{i}(r)h_{i}^{*}( r)\,dr=\int f_{o}(r)h_{o}^{*}(r)\,dr$	Parsevals teorem
$f_{i}^{*}(r)$	$[L(T^{-1})f_{i}(r)]^{*},$ där $T^{-1}={\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t} \end{bmatrix}}$	komplext konjugat
$\mathrm {M} ^{n}f_{i}(r)$	$(d^{t}\mathrm {M} -b^{t}D)^{n}f_{o}( r),\quad \mathrm {M} =r$	multiplikation
$D^{n}f_{i}(r)$	$(-c^{t}\mathrm {M} -a^{t}D )^{n}f_{o}(r),\quad D=(i2\pi )^{-1}\nabla ^{t}$	härledning
$f_{i}(r)e^{i2\pi k^{t}r}$	$f_{o}(r-bk)e^{i2\pi k^{t} d^{t}r}e^{-i\pi k^{t}b^{t}dk}$	modulation
$f_{i}(rk)$	$f_{o}(r)e^{i2\pi k^{t}c^{t} r}e^{-i\pi k^{t}c^{t}ak}$	flytta
${\displaystyle |\det(W)|^{-1/2}f_{i}(W^{-1}r$	$L({\tilde {T}})f_{i}(r),$ där ${\ tilde {T}}=T{\begin{bmatrix}W&0\\0&W^{t-1}\end{bmatrix}}$	skalning
$f_{i}(-r)$	$L(-T)f_{i}(r)=f_{o}(-r)$	skalning
1	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^ {-1}r}$
$e^{i\pi r^{t}L_{i}r}$	$[\det(A+iL_{i})]^{-1/2}e^{-\ pi r^{t}L_{o}r},$ där $\,iL_{o}=(C+ iDL_{i})(A+iBL_{i})^{-1}$
$e^{i2\pi k^{t}r}$	$(\det( A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}*e^{-i\pi k^{t}A^{-1}BK} e^{i2\pi k^{t}CA^{-1}r}$

Exempel

Systemet som betraktas är avbildat i figuren till höger: två skålar – den ena är sändaren och den andra är mottagaren – och en signal som färdas mellan dem över ett avstånd D . Först, för maträtt A (sändare), ser LCT-matrisen ut så här:

$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.$$

Sedan, för skål B (mottagare), blir LCT-matrisen på liknande sätt:

$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.$$

Sist, för utbredningen av signalen i luft, är LCT-matrisen:

$${\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.$$

Om alla tre komponenterna sätts ihop är systemets LCT:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{ bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{ -1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\ slut{bmatrix}}\,.$$

Relation till partikelfysik

Det har visat sig att det kan vara möjligt att fastställa ett samband mellan vissa egenskaper hos den elementära fermionen i standardmodellen för partikelfysik och spinnrepresentation av linjära kanoniska transformationer. I detta tillvägagångssätt uttrycks partiklarnas elektriska laddning , svaga hyperladdning och svaga isospin som linjära kombinationer av vissa operatorer definierade från generatorerna av Clifford-algebra associerade med spinrepresentationen av linjära kanoniska transformationer.

Se även

• Segal–Shale–Weil-distribution, en metaplektisk grupp av operatörer relaterade till chirplettransformationen
• Andra tids-frekvensomvandlingar:
  • Fraktionell Fouriertransform
  • Kontinuerlig Fouriertransform
  • Chirplet transformation
• Applikationer:
  • Fokusåterställning baserat på den linjära kanoniska transformationen
  • Strålöverföringsmatrisanalys

Anteckningar

• JJ Healy, MA Kutay, HM Ozaktas och JT Sheridan, " Linear Canonical Transforms: Theory and Applications ", Springer, New York 2016.
• JJ Ding, " Time-frequency analysis and wavelet transform course note ", Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• KB Wolf, " Integral Transforms in Science and Engineering ", kap. 9&10, New York, Plenum Press, 1979.
• SA Collins, "Lens-systemdiffraktionsintegral skriven i termer av matrisoptik," J. Opt. Soc. Amer. 60 , 1168-1177 (1970).
• M. Moshinsky och C. Quesne, "Linjära kanoniska transformationer och deras enhetliga representationer," J. Math. Phys. 12 , 8, 1772-1783, (1971).
• BM Hennelly och JT Sheridan, "Fast Numerical Algorithm for the Linear Canonical Transform", J. Opt. Soc. Am. A 22 , 5, 928–937 (2005).
• HM Ozaktas, A. Koç, I. Sari och MA Kutay, "Effektiv beräkning av kvadratiska fasintegraler i optik", Opt. Låta. 31 , 35–37, (2006).
• Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, "Nya samplingsformler relaterade till den linjära kanoniska transformationen", Signal Processing ' 87' , 983–990, (2007).
• A. Koç, HM Ozaktas, C. Candan och MA Kutay, "Digital computation of linear canonical transforms", IEEE Trans. Signalprocess. vol. 56, nr. 6, 2383–2394, (2008).
• Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, "Om sampling av bandbegränsade signaler associerade med den linjära kanoniska transformationen", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, nr. 11, 5454–5464, (2008).
• D. Stoler, "Operatormetoder i fysisk optik", 26:e årliga tekniska symposium . International Society for Optics and Photonics, 1982.
• Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Linjär kanonisk transformation och dess tillämpningar ", Beijing, Science Press, 2013.
• Raoelina Andriambololona, ​​RT Ranaivoson, HDE Randriamisy, R. Hanitriarivo, "Dispersion Operators Algebra and Linear Canonical Transformations", Int. J. Theor. Phys. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
• RT Ranaivoson et al, "Linear Canonical Transformations in Relativistic Quantum Physics", Phys. Scr. 96 , 065204, (2021).
• Tatiana Alieva., Martin J. Bastiaans. (2016) De linjära kanoniska transformationerna: definition och egenskaper. I: Healy J., Alper Kutay M., Ozaktas H., Sheridan J. (red) Linear Canonical Transforms. Springer Series in Optical Sciences, vol 198. Springer, New York, NY