Fokusåterställning baserat på den linjära kanoniska transformationen

För digital bildbehandling är återställningen av fokus från en oskärpa bild ett olyckligt problem eftersom den förlorar komponenten av hög frekvens. De flesta metoderna för fokusåtervinning är baserade på teori för djupskattning. Den linjära kanoniska transformationen (LCT) ger en skalbar kärna för att passa många välkända optiska effekter. Genom att använda LCT:er för att approximera ett optiskt system för avbildning och invertering av detta system, tillåter teoretiskt sett återställning av en oskärpa bild.

Skärpedjup och perceptuellt fokus

Objektet placeras i olika positioner medan det leder till effektiv fokusering.

Inom fotografering betyder skärpedjup (DOF) en effektiv brännvidd. Det används vanligtvis för att betona ett objekt och minska betoningen av bakgrunden (och/eller förgrunden). Det viktiga måttet för DOF är objektivets bländare . Att minska diametern på bländaren ökar fokus och sänker upplösningen och vice versa.

Huygens–Fresnel-principen och DOF

Observationspunkterna vid två olika fält

Huygens –Fresnel-principen beskriver diffraktion av vågutbredning mellan två fält. Den tillhör Fourier-optik snarare än geometrisk optik . Diffraktionsstörningen beror på två omständighetsparametrar, storleken på bländaren och det interfilade avståndet.

₀₀₀₀₀ Betrakta ett källfält och ett destinationsfält, fält 1 respektive fält 0. P ₁ (x ₁ ,y ₁ ) är positionen i källfältet, P (x ,y ) är positionen i destinationsfältet. Huygens–Fresnel-principen ger diffraktionsformeln för två fält U(x , y ), U(x _{1 ,} y ₁ ) enligt följande:

$\mathbf {U} (x_{0}, y_{0})={\frac {1}{j\lambda }}\int \!\int \mathbf {U} (x_{1},y_{1}){\frac {e^{jkr_{01 }}}{r_{01}}}\cos \theta dx_{1}dy_{1}$

där θ anger vinkeln mellan $r_{01}$ och $z$ . Ersätt cos θ med ${\frac {r_{01}}{z}}$ och $r_{01}$ med ${\displaystyle [(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+z$

vi får

$\mathbf {U} (x_{0},y_{0})={\frac {1}{j\lambda z}}\int \!\int \mathbf {U} (x_{1},y_{1}){\frac {\exp(jkz[1+({\frac {x_{ 0}-x_{1}}{z}})^{2}+({\frac {y_{0}-y_{1}}{z}})^{2}]^{1/2}) {1+({\frac {x_{0}-x_{1}}{z}})^{2}+({\frac {y_{0}-y_{1}}{z}})^ {2}}}dx_{1}dy_{1}$

Det ytterligare avståndet z eller den mindre öppningen (x ₁ , y ₁ ) orsakar en större diffraktion. En större DOF kan leda till en mer effektiv fokuserad vågfördelning. Detta verkar vara en konflikt. Här är notationerna:

• Diffraktion
  • I en verklig bildmiljö är djupen på objekt som jämförs med bländaren vanligtvis inte tillräckligt för att leda till allvarlig diffraktion.
  • Ett tillräckligt långt djup av objektet kan dock göra bilden suddig.
• Effektivt fokus
  • Liten bländare, liten oskärpa radie, få våginformation.
  • Tappar detaljer i jämförelse med en stor bländare.

Sammanfattningsvis förklarar diffraktion ett mikrobeteende medan DOF visar ett makrobeteende. Båda är relaterade till bländarstorlek.

Linjär kanonisk transformation

Som betydelsen av "kanonisk" är den linjära kanoniska transformationen (LCT) en skalbar transformation som ansluter till många viktiga kärnor såsom Fresnel -transformen, Fraunhofer -transformen och den fraktionella Fourier-transformen . Den kan enkelt styras av dess fyra parametrar, a , b , c , d (3 frihetsgrader). Definitionen:

Ett allmänt bildsystem med två fritt utrymmesutbredning och en tunn linspassering

$L_{M}(f(u))=\int L_{M}(u,u ')f(u')du'$

var

$L_{M}(u,u')={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1}{b}}} e^{-j\pi /4}e^{[j\pi ({\frac {d}{b}}u^{2})-2{\frac {1}{b}}uu'+{ \frac {a}{b}}u'^{2}]},&{\mbox{if }}b\neq 0\\{\sqrt {d}}e^{{\frac {j}{2 }}cdu^{2}}\delta (u'-du),&{\mbox{if }}b=0\end{cases}}$

Tänk på ett allmänt bildsystem med objektavstånd z ₀ , brännvidd för den tunna linsen f och bildavstånd z ₁ . Effekten av utbredningen i det fria rymden fungerar nästan som en chirp- falsning , det vill säga diffraktionsformeln. Dessutom fungerar effekten av utbredningen i tunn lins som en kvittrande multiplikation. Parametrarna är alla förenklade som paraxiella approximationer samtidigt som de möter utbredningen av fritt utrymme. Den tar inte hänsyn till bländarstorleken.

Från egenskaperna hos LCT är det möjligt att få dessa 4 parametrar för detta optiska system som:

${\begin{bmatrix}1-{\frac {z_{1}}{f} }\quad &\lambda z_{0}-{\frac {\lambda z_{0}z_{1}}{f}}+\lambda z_{1}\\-{\frac {1}{\lambda f }}\quad &1-{\frac {z_{0}}{f}}\end{bmatrix}}$

När väl värdena för z1 _. , z ₀ och f är kända kan LCT simulera vilket optiskt system som helst

Anteckningar

•   Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky och M. Alper Kutay (2001). Den fraktionerade Fouriertransformen med tillämpningar inom optik och signalbehandling . New York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-96346-2 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
• M. Sorel och J. Flusser, "Space-variant restoration of images degraded by camera motion blur", IEEE Transactions on Image Processing, vol. 17, s. 105–116, februari 2008.
• "Så här fungerar ett zoomobjektiv" . Jos Schneider Optische Werke GmbH. Februari 2008. Arkiverad från originalet 2012-05-08.
• B. Barshan, M. Alper Kutay och HM Ozaktas , "Optimal filtrering med linjära kanoniska transformationer", Optics Communications , vol. 135, s. 32–36, februari 1997.