Lanczos tensor

Lanczos -tensorn eller Lanczos-potentialen är en rang 3-tensor i generell relativitetsteori som genererar Weyl-tensoren . Den introducerades först av Cornelius Lanczos 1949. Den teoretiska betydelsen av Lanczos-tensoren är att den fungerar som mätfältet för gravitationsfältet på samma sätt som, analogt, den elektromagnetiska fyrpotentialen genererar det elektromagnetiska fältet .

Definition

Lanczos-tensorn kan definieras på några olika sätt. Den vanligaste moderna definitionen är genom Weyl-Lanczos-ekvationerna, som visar genereringen av Weyl-tensoren från Lanczos-tensoren. Dessa ekvationer, som presenteras nedan, gavs av Takeno 1964. Sättet som Lanczos introducerade tensorn ursprungligen var som en Lagrange-multiplikator på villkor som studerades i den variationsmässiga inställningen till allmän relativitet . Under vilken definition som helst uppvisar Lanczos tensor H följande symmetrier:

$H_{abc}+H_{bac}=0,\,$

$H_ {abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.$

Lanczos-tensorn finns alltid i fyra dimensioner men generaliserar inte till högre dimensioner. Detta framhäver det speciella med fyra dimensioner . Observera vidare att den fullständiga Riemann-tensorn i allmänhet inte kan härledas från enbart derivat av Lanczos-potentialen. Einsteins fältekvationer måste tillhandahålla Ricci-tensorn för att fullborda komponenterna i Ricci-nedbrytningen .

Curtright -fältet har en gauge-transformationsdynamik som liknar Lanczos tensor. Men Curtright-fältet finns i godtyckliga dimensioner > 4D.

Weyl–Lanczos ekvationer

Weyl-Lanczos-ekvationerna uttrycker Weyl-tensorn helt som derivator av Lanczos-tensoren:

$C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac); e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{ (b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}-(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e| }{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{ e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_ {ad}g_{bc})$

där $C_{abcd}$ är Weyl-tensorn, semikolon anger den kovarianta derivatan och de inskrivna parenteserna indikerar symmetri . Även om ovanstående ekvationer kan användas för att definiera Lanczos-tensoren, visar de också att den inte är unik utan snarare har mätfrihet under en affin grupp . Om $\Phi ^{a}$ är ett godtyckligt vektorfält , då är Weyl–Lanczos-ekvationerna invarianta under gauge-transformationen

$H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}$

där de tecknade parenteserna indikerar antisymmetrisering . Ett ofta bekvämt val är Lanczos algebraiska mätare, $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{ b},$ som sätter $H'_{ab}{}^{b}=0.$ Mätvärdet kan begränsas ytterligare genom Lanczos differentialmätare $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ . Dessa mätarval reducerar Weyl–Lanczos-ekvationerna till den enklare formen

$C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_ {bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc ;e}g_{ad}.$

Våg ekvation

Lanczos potentiella tensor uppfyller en vågekvation

${\begin{aligned}\Box H_{abc}=&J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_ {abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac} -H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}$

där $\Box$ är d'Alembert-operatorn och

$J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6} }\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)$

är känd som bomullstensorn . Eftersom bomullstensorn endast beror på kovarianta derivator av Ricci-tensoren kan den kanske tolkas som en slags materiaström. De ytterligare självkopplande termerna har ingen direkt elektromagnetisk motsvarighet. Dessa självkopplande termer påverkar dock inte vakuumlösningarna, där Ricci-tensorn försvinner och krökningen beskrivs helt av Weyl-tensorn. Så i vakuum Einsteins fältekvationer ekvivalenta med den homogena vågekvationen $\Box H_{abc}=0,$ i perfekt analogi med vakuumvågsekvationen $\Box A_{a}=0$ för den elektromagnetiska fyrpotentialen. Detta visar en formell likhet mellan gravitationsvågor och elektromagnetiska vågor , med Lanczos-tensorn väl lämpad för att studera gravitationsvågor.

I den svaga fältapproximationen där ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}} är$ en lämplig form för Lanczos-tensorn i Lanczos-mätaren

$4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d ,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).$

Exempel

Det mest grundläggande icke-triviala fallet för att uttrycka Lanczos-tensorn är naturligtvis för Schwarzschild-metriken . Den enklaste, explicita komponentrepresentationen i naturliga enheter för Lanczos tensor i detta fall är

$H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}$

med alla andra komponenter som försvinner upp till symmetrier. Denna form finns dock inte i Lanczos mätare. De icke-försvinnande termerna för Lanczos-tensorn i Lanczos-mätaren är

$H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}$

$H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}$

$H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}$

Det är vidare möjligt att visa, även i detta enkla fall, att Lanczos-tensorn i allmänhet inte kan reduceras till en linjär kombination av snurrkoefficienterna för Newman- Penrose-formalismens , vilket vittnar om Lanczos-tensorens grundläggande natur. Liknande beräkningar har använts för att konstruera godtyckliga Petrov typ D- lösningar.

Se även

• Bach tensor
• Ricci kalkyl
• Schouten tensor
• tetradisk Palatini-action
• Självdubbel Palatini-action

externa länkar

• Peter O'Donnell, Introduktion till 2-spinorer i allmän relativitet . World Scientific , 2003.