Bomullstensor

I differentialgeometri är bomullstensorn på ett (pseudo) -Riemann-grenrör med dimension n en tredje ordningens tensor som är åtföljande av metriken . Att bomullstensorn försvinner för n = 3 är nödvändig och tillräcklig förutsättning för att grenröret ska vara konformt platt . Däremot i dimensionerna n ≥ 4 är försvinnandet av bomullstensorn nödvändigt men inte tillräckligt för att måtten ska vara konformt platt; i stället är det motsvarande nödvändiga och tillräckliga villkoret i dessa högre dimensioner att Weyl-tensorn försvinner, medan Cotton-tensorn bara blir en konstant gånger divergensen för Weyl-tensoren. För n < 3 är bomullstensorn identiskt noll. Konceptet är uppkallat efter Émile Cotton .

Beviset för det klassiska resultatet att för n = 3 är försvinnandet av bomullstensorn ekvivalent med att metriken är konformt platt ges av Eisenhart med ett standardintegrerbarhetsargument . Denna tensortäthet kännetecknas unikt av dess konforma egenskaper i kombination med kravet på att den ska vara differentierbar för godtyckliga mått, vilket visas av ( Aldersley 1979 ).

Nyligen har studiet av tredimensionella rum blivit av stort intresse, eftersom bomullstensorn begränsar relationen mellan Ricci-tensoren och materiens energi-momentumtensor i Einsteins ekvationer och spelar en viktig roll i Hamiltons formalism av allmän relativitet . .

Definition

I koordinater, och betecknar Ricci-tensorn med R _ij och den skalära krökningen med R , är komponenterna i Cotton-tensorn

$C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\höger).$

Bomullstensorn kan betraktas som en vektor värderad 2-form , och för n = 3 kan man använda Hodge-stjärnoperatorn för att omvandla denna till en andra ordningens spårfri tensordensitet

$C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{ \frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},$

kallas ibland Cotton– York- tensoren .

Egenskaper

Konform omskalning

Under konform omskalning av metriken ${\tilde {g}}=e^{2\omega }g$ för någon skalär funktion $\omega$ . Vi ser att Christoffel-symbolerna förvandlas som

${\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{ \alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }$

där $S_{\beta \gamma }^{\alpha }$ är tensorn

$S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta}_^{\gamma \alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\ omega$

Riemanns krökningstensor transformeras som

$\ widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{ \beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu } ^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}$

I $n$ -dimensionella grenrör erhåller vi Ricci-tensorn genom att dra ihop den transformerade Riemann-tensorn för att se den transformeras som

${\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\ omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta}\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta}\omega -g_ {\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )$

På liknande sätt transformeras Ricci-skalären som

${$

Genom att kombinera alla dessa fakta tillsammans kan vi dra slutsatsen att Cotton-York-tensorförvandlingarna är

${\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }$

eller använda koordinerat oberoende språk som

${\tilde {C}}=C\;+\;\operatörsnamn {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,$

  där gradienten pluggas in i den symmetriska delen av Weyl-tensorn W .

Symmetrier

Bomullstensorn har följande symmetrier:

$C_{ijk}=-C_{ikj}\,$

och därför

$C_{[ijk]}=0.\,$

Dessutom kan Bianchi-formeln för Weyl-tensorn skrivas om som

$\delta W=(3-n)C,\,$

där $\delta$ är den positiva divergensen i den första komponenten av W .

• Aldersley, SJ (1979). "Kommentarer om vissa divergensfria tensordensiteter i ett 3-utrymme" . Journal of Mathematical Physics . 20 (9): 1905–1907. Bibcode : 1979JMP....20.1905A . doi : 10.1063/1.524289 .
•   Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Allmän relativitetsteori och Einsteins ekvationer . Oxford, England: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-923072-3 .
• Cotton, É. (1899). "Sur les variétés à trois dimensions" . Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse . II. 1 (4): 385–438. Arkiverad från originalet 2007-10-10.
•   Eisenhart, Luther P. (1977) [1925]. Riemannsk geometri . Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08026-7 .
• A. Garcia, FW Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008