Tetradic Palatini-action

Einstein -Hilberts handling för allmän relativitet formulerades först rent i termer av rum-tid-metriken. Att ta den metriska och affina kopplingen som oberoende variabler i handlingsprincipen övervägdes först av Palatini . Det kallas en första ordningens formulering eftersom de variabler som ska varieras endast involverar upp till första derivator i handlingen och därför inte överkomplicerar Euler– Lagrange ekvationerna med högre derivattermer. Den tetradic Palatini-handlingen är en annan första ordningens formulering av Einstein-Hilbert-handlingen i termer av ett annat par oberoende variabler, kända som ramfält och spinnkopplingen . Användningen av ramfält och spinnkopplingar är väsentliga i formuleringen av en allmänt samvariant fermionisk verkan (se artikeln spinkoppling för mer diskussion om detta) som kopplar fermioner till gravitationen när de läggs till den tetradic Palatini-verkan.

Detta behövs inte bara för att koppla fermioner till gravitationen och gör den tetratiska handlingen på något sätt mer grundläggande för den metriska versionen, Palatini-handlingen är också en språngbräda till mer intressanta åtgärder som den självdubbla Palatini-handlingen som kan ses som den lagrangiska grunden för Ashtekars formulering av kanonisk gravitation (se Ashtekars variabler ) eller Holst-handlingen som ligger till grund för den verkliga variabelversionen av Ashtekars teori. En annan viktig handling är Plebanski-handlingen (se inlägget om Barrett-Crane-modellen ), och att bevisa att den ger allmän relativitet under vissa förhållanden innebär att visa att den reduceras till Palatini-handlingen under dessa förhållanden.

Här presenterar vi definitioner och beräknar Einsteins ekvationer från Palatini-aktionen i detalj. Dessa beräkningar kan enkelt modifieras för den självdubbla Palatini-åtgärden och Holst-åtgärden.

Några definitioner

Vi måste först introducera begreppet tetrads. En tetrad är en ortonormal vektorbas i termer av vilken rum-tidsmåttet ser lokalt platt ut,

g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}

där $\eta _{IJ}={\text{diag}}(-1,1,1,1)$ är Minkowski-måttet. Tetraderna kodar informationen om rum-tidsmåttet och kommer att tas som en av de oberoende variablerna i handlingsprincipen.

Om man nu ska operera på objekt som har interna index måste man introducera en lämplig derivata (kovariansderivata). Vi introducerar en godtycklig kovariant derivata via

{\mathcal {D}}_{\alpha }V_{I}=\partial _{\alpha }V_{I}+{\omega _{\alpha I}}^{J}V_{J} .

Där ${\omega _{\alpha I}}}^{J}$ är en spin (Lorentz) anslutning i enform (derivatan förintar Minkowski-metriken $\eta _{ IJ}$ ). Vi definierar en krökning via

{\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=({\mathcal { D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha })V_{I}

Vi får

{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=2\partial _ {[\alpha }{\omega _{\beta ]}}^{IJ}+2{\omega _{[\alpha }}^{IK}{\omega _{\beta ]K}}^{J}

.

Vi introducerar den kovarianta derivatan som förintar tetraden,

\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0

.

Kopplingen bestäms helt av tetraden. Verkan av detta på den generaliserade tensorn $V_{\beta }^{I}$ ges av

\nabla _{\alpha }V_{\beta }^{I}=\partial _{\alpha }V_{\beta }^{I}-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }V_{\gamma }^{I}+{\omega _{\alpha J}}^{I}V_{\beta }^{J}.

Vi definierar en krökning ${R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ med

{R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\ alfa })V_{I}.

Detta är lätt relaterat till den vanliga krökningen som definieras av

{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=(\nabla _ {\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{\gamma }

genom att ersätta $V_{\gamma }=V_{I}e_{\gamma }^{I}$ i detta uttryck (se nedan för detaljer). Man får,

{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }, \quad R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }

för Riemann-tensorn , Ricci-tensorn och Ricci-skalären .

Den tetratiska Palatini-handlingen

Ricci-skalären för denna krökning kan uttryckas som ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}.} Åtgärden kan$ skrivas

S_{HP}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}

där $e={\sqrt {-g}}$ men nu är $g$ en funktion av ramfältet.

Vi kommer att härleda Einsteins ekvationer genom att variera denna åtgärd med avseende på tetrad- och spinnkopplingen som oberoende storheter.

Som en genväg för att utföra beräkningen introducerar vi en anslutning som är kompatibel med tetrad, $\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0.$ Den associerade anslutningen med denna kovarianta derivata bestäms helt av tetraden. Skillnaden mellan de två anslutningarna vi har introducerat är ett fält ${C_{\alpha I}}^{J}$ definierat av

{C_{\alpha I}}^{J}V_{J}=\left(D_{\alpha }-\nabla _{\alpha }\right)V_{I}.

Vi kan beräkna skillnaden mellan krökningarna för dessa två kovariantderivat (se nedan för detaljer),

{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}- {R_{\alpha \beta }}^{IJ}=\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{ \beta ]M}}^{J}

Anledningen till denna mellanberäkning är att det är lättare att beräkna variationen genom att återuttrycka åtgärden i termer av $\nabla$ och ${C_{\alpha }}^{IJ}$ och notera att variationen med avseende på ${\omega _{\alpha }}^{IJ}$ är densamma som variationen med avseende på ${C_{\alpha } }^{IJ}$ (när man håller tetrad fixerad). Handlingen blir

S_{HP} =\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\left({R_{\alpha \beta }}^{IJ}+\ nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}\right)

Vi varierar först med avseende på ${C_{\alpha }}^{IJ}$ . Den första termen är inte beroende av ${C_{\alpha }}^{IJ}$ så den bidrar inte. Den andra termen är en totalderivata. Den sista terminen ger

e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I }^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{bK}}^{N}=0.

Vi visar nedan att detta innebär att ${C_{\alpha }}^{IJ}=0$ som prefaktor ${\ displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}} är icke-degenererad$ . Detta säger oss att $\nabla$ sammanfaller med $D$ när man agerar på objekt med endast interna index. Således bestäms kopplingen $D$ helt av tetraden och $\Omega$ sammanfaller med $R$ . För att beräkna variationen med avseende på tetraden behöver vi variationen av $e=\det e_{\alpha }^{I}$ . Från standardformeln

\delta \det(a)=\det(a)\left(a^{-1}\right)_ {ji}\delta a_{ij}

vi har $\delta e=ee_{I}^{\alpha }\delta e_{\alpha }^{I}$ . Eller om du använder ${\displaystyle \delta \left(e_{\alpha }^{I}e_{I}^{\alpha }\right)=0}, blir$ detta $\delta e=-ee_{\alpha }^{I}\delta e_{I}^{\alpha }$ . Vi beräknar den andra ekvationen genom att variera med avseende på tetraden,

{\begin{aligned}\delta S_{HP}&=\int d^{4}x\;e\left(\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right )e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}+e_{I}^{\alpha }\left(\delta e_{J}^{\beta}\ höger){\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-e_{\gamma }^{K}\left(\delta e_{K}^{\gamma}\right)e_{I}^{ \alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}\right)\\&=2\int d^{4}x\;e\left(e_ {J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{1 \över 2}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{ \alpha }^{I}{\Omega _{\gamma \delta }}^{MN}\right)\left(\delta e_{I}^{\alpha}\right)\end{aligned}}

Man får, efter att ha ersatt ${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$ för ${R_{\alpha \beta }}^{IJ }$ som ges av föregående rörelseekvation,

e_{J}^{\gamma }{R_{\alpha \gamma }}^{IJ }-{1 \över 2}{R_{\gamma \delta }}^{MN}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}=0

som efter multiplikation med $e_{I\beta }$ bara säger att Einstein-tensorn $R_{\alpha \beta }-{\tfrac { 1}{2}}Rg_{\alpha \beta }$ av måtten som definieras av tetraderna försvinner. Vi har därför bevisat att Palatini-variationen av handlingen i tetradisk form ger de vanliga Einstein-ekvationerna .

Generaliseringar av Palatini-aktionen

Vi ändrar åtgärden genom att lägga till en term

-{1 \over 2\gamma }ee_{I}^{\alpha }e_{J}^ {\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}[\omega ]{\epsilon ^{IJ}}_{MN}

Detta ändrar Palatini-åtgärden till

S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha } e_{J}^{\beta }{P^{IJ}}_{MN}{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}

var

{P^{IJ}}_{MN}=\delta _{M}^{[I}\delta _{N}^{J]}-{1 \over 2\gamma }{\epsilon ^ {IJ}}_{MN}.

Denna åtgärd ovan är Holst-åtgärden, introducerad av Holst och $\gamma$ är Barbero-Immirzi-parametern vars roll kändes igen av Barbero och Immirizi. Den självdubbla formuleringen motsvarar valet $\gamma =-i$ .

Det är lätt att visa att dessa åtgärder ger samma ekvationer. Fallet som motsvarar $\gamma =\pm i$ måste dock göras separat (se artikel självdubbel Palatini-åtgärd ) . Antag att $\gamma \not =\pm i$ , då har ${P^{IJ}}_{MN}$ en invers given av

{(P^{-1})_{IJ}}^{MN}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+1}}\left(\delta _ {I}^{[M}\delta _{J}^{N]}+{\frac {1}{2\gamma }}{\epsilon _{IJ}}^{MN}\right).

(observera att detta avviker för ${\displaystyle \gamma =\pm i} )$ . Eftersom denna invers existerar generaliseringen av prefaktorn $e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{ [I}^{M}\delta _{J]}^{K}$ kommer också att vara icke-degenererade och som sådana erhålls ekvivalenta villkor från variation med avseende på anslutningen. Vi får återigen ${C_{\alpha }}^{IJ}=0$ . Medan variation med avseende på tetraden ger Einsteins ekvation plus ytterligare en term. Denna extra term försvinner dock på grund av Riemann-tensorns symmetri.

Detaljer om beräkning

Att relatera vanlig krökning till blandindexkurvaturen

Den vanliga Riemann-kurvaturtensorn ${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }$ definieras av

{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta } \nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }.

För att hitta relationen till den blandade indexkurvaturtensorn låt oss ersätta $V_{\gamma }=e_{\gamma }^{I}V_{I}$

{\begin{aligned}{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta}-\nabla _{\beta}\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }\\&=\left( \nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta}\nabla _{\alpha }\right)\left(e_{\gamma}^{I}V_{I}\right )\\&=e_{\gamma }^{I}\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta}-\nabla _{\beta}\nabla _{\alpha }\right)V_ {I}\\&=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }V_{\delta }\end{aligned}}

där vi har använt $\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0$ . Eftersom detta är sant för alla $V_{\delta }$ får vi

{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\ alfa \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }

.

Genom att använda detta uttryck finner vi

R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma \beta }}^{\gamma }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I }e_{J}^{\gamma }.

Att dra ihop sig över $\alpha$ och $\beta$ låter oss skriva Ricci-skalären

R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }.

Skillnad mellan krökningar

Den derivata som definieras av $D_{\alpha }V_{I}$ vet bara hur den ska agera på interna index. Vi finner det dock bekvämt att överväga en vridningsfri utvidgning av rymdtidsindex. Alla beräkningar kommer att vara oberoende av detta val av förlängning. Använder ${\mathcal {D}}_{a}$ två gånger på $V_{I}$ ,

{\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\ beta }V_{I}={\mathcal {D}}_{\alpha }(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J})= \nabla _{\alpha }\left(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}} ^{K}\left(\nabla _{b}V_{K}+{C_{\beta K}}^{J}V_{J}\right)+{\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\left(\nabla _{\gamma }V_{I}+{C_{\gamma I}}^{J}V_{J}\right)

där ${\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }$ är oviktigt behöver vi bara notera att den är symmetrisk i $\alpha$ och $\beta$ eftersom den är vridningsfri. Sedan

{\begin{aligned} {\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}&=\left({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }- {\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha }\right)V_{I}\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\ beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}+\nabla _{\alpha }\left({C_{\beta I}}^{J}V_{J }\right)-\nabla _{\beta }\left({C_{\alpha I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\nabla _ {\beta }V_{K}-{C_{\beta I}}^{K}\nabla _{\alpha }V_{K}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}V_{J}-{C_{\beta I}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}V_{J}\\&={R_{\alpha \ beta I}}^{J}V_{J}+\left(\nabla _{\alpha }{C_{\beta I}}^{J}-\nabla _{\beta }{C_{\alpha I} }^{J}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}-{C_{\beta _{I}}}^{K}{C_{\ alpha K}}^{J}\right)V_{J}\end{aligned}}

Därav:

{\Omega _{ab}}^{IJ}-{ R_{ab}}^{IJ}=2\nabla _{[a}{C_{b]}}^{IJ}+2{C_{[a}}^{IK}{C_{b]K}} ^{J}

Variera åtgärden med avseende på fältet ${C_{\alpha }}^{IJ}$

Vi skulle förvänta oss att $\nabla _{a}$ också skulle förinta Minkowski-metriken $\eta _{IJ}=e_{\beta I}e_{J }^{\beta }$ . Om vi också antar att den kovarianska derivatan ${\mathcal {D}}_{\alpha }$ förstör Minkowski-metriken (som då sägs vara torsionsfri) har vi,

0=({\mathcal {D}}_{\alpha }-\nabla _{\alpha })\eta _{IJ}={C_{\alpha I}}^{K}\eta _{ KJ}+{C_{aJ}}^{K}\eta _{IK}=C_{\alpha IJ}+C_{\alpha JI}.

Antyder

C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}.

Från den sista termen av åtgärden har vi från att variera med avseende på ${C_{\alpha I}}^{J},$

${\begin{aligned}\delta S_{EH}&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{\gamma } e_{N}^{\beta }{C_{[\gamma }}^{MK}{C_{\beta ]K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\; e\;e_{M}^{[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma }}^{MK}{C_{\beta K}}^{N}\\&= \delta \int d^{4}x\;e\;e^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma M}}^{K}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\int d^{4}x\;ee^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}\left(\delta _{\gamma }^ {\alpha }\delta _{M}^{I}\delta _{J}^{K}{C_{\beta K}}^{N}+{C_{\gamma M}}^{K}\ delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{K}^{I}\delta _{J}^{N}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\\ &=\int d^{4}x\;e\left(e^{I[\alpha }e_{N}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{N}+e^{ M[\beta }e_{J}^{\alpha ]}{C_{\beta M}}^{I}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\end{aligned}}$

eller

e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}{ C_{\beta J}}^{K}+e^{K[\beta }e_{J}^{\alpha ]}C_{\beta KI}=0

eller

{C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[ \alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0.

där vi har använt $C_{\beta KI}=-C_{\beta IK}$ . Detta kan skrivas mer kompakt som

e_{M}^{[\alpha }e_{N}^{\beta ]}\delta _{ [I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{\beta K}}^{N}=0.

Försvinnande av ${C_{\alpha }}^{IJ}$

Vi kommer att visa efter referensen "Geometrodynamics vs. Connection Dynamics" att

{C_{\beta I}}^{K}e_{K}^ {[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0 \quad Ekv.1

innebär ${C_{\alpha I}}^{J}=0.$ Först definierar vi rumtidstensorfältet med

S_{\alpha \beta \gamma }:=C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}.

Då är villkoret $C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}$ ekvivalent med $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}$ . Kontrakterande ekv. 1 med $e_{\alpha }^{I}e_{\gamma }^{J}$ räknar man ut att

{C_{\beta J}}^{I}e_{\gamma }^{J}e_{I}^{\beta }=0.

Eftersom ${S_{\alpha \beta }}^{\gamma }={C_{\alpha I}}^{J}e_{\ beta }^{I}e_{J}^{\gamma },$ vi har ${S_{\beta \gamma }}^{\beta }=0.$ Vi skriver det som

({C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta })e_{\gamma }^{I}= 0,

och eftersom $e_{\alpha }^{I}$ är inverterbara innebär detta

{C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta }=0.

Således termerna ${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\beta }e_{J}^{\alpha },$ och ${\displaystyle {C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\alpha }e_{K}^{\beta }} av ekv$ . 1 både försvinna och ekv. 1 minskar till

{C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{ J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta}e_{K}^{\alpha }=0.

Om vi nu drar ihop detta med $e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}$ får vi

{\begin{aligned}0&=\left({C_{\beta I }}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K} ^{\alpha }\right)e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}\\&={C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{\gamma }^{I}\delta _{\delta }^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}\delta _{\gamma }^{\beta }e_{K }^{\alpha }e_{\delta }^{J}\\&={C_{\delta I}}^{K}e_{\gamma }^{I}e_{K}^{\alpha }- {C_{\gamma J}}^{K}e_{\delta }^{J}e_{K}^{\alpha }\end{aligned}}

eller

{S_{\gamma \delta }}^{\alpha }={S_{(\gamma \delta )}}^{\alpha }.

Eftersom vi har $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}$ och ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{(\alpha \beta )\gamma }} ,$ vi kan successivt byta ut de två första och sedan de två sista indexen med lämplig teckenändring varje gång för att få,