Schouten tensor

I Riemannsk geometri är Schouten-tensoren en andra ordningens tensor introducerad av Jan Arnoldus Schouten definierad för n ≥ 3 av:

P={\frac {1}{n-2 }}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {R}{2(n-1)}}g\right)\,\Leftrightarrow \mathrm {Ric} =(n-2)P+Jg\, ,

där Ric är Ricci-tensorn (definieras genom att dra ihop de första och tredje indexen för Riemann-tensorn), R är den skalära krökningen , g är Riemann-metriken , $J={\ frac {1}{2(n-1)}}R$ är spåret av P och n är grenrörets dimension.

Weyl -tensorn är lika med Riemann-kurvaturtensorn minus Kulkarni–Nomizu-produkten från Schouten-tensorn med metrisk. I en indexnotation

R_{ijkl}=W_{ijkl}+g_{ik}P_{jl}-g_{jk}P_{il}-g_{il}P_{jk}+g_{jl}P_{ik}\, .

Schouten-tensoren förekommer ofta i konformal geometri på grund av dess relativt enkla konforma transformationslag

g_{ij}\mapsto \Omega ^ {2}g_{ij}\Rightarrow P_{ij}\mapsto P_{ij}-\nabla _{i}\Upsilon _{j}+\Upsilon _{i}\Upsilon _{j}-{\frac { 1}{2}}\Upsilon _{k}\Upsilon ^{k}g_{ij}\,,

där $\Upsilon _{i}:=\Omega ^{-1}\partial _{i}\Omega \,.$

Vidare läsning

Arthur L. Besse, Einsteins grenrör . Springer-Verlag, 2007. Se kap. 1 §J "Konforma förändringar av Riemannska mätvärden."
Spyros Alexakis, Nedbrytningen av globala konforma invarianter . Princeton University Press, 2012. Kapitel 2, noterar i en fotnot att Schouten-tensorn är en "spårjusterad Ricci-tensor" och kan betraktas som "i huvudsak Ricci-tensoren."
Wolfgang Kuhnel och Hans-Bert Rademacher, "Conformal diffeomorphisms preserving the Ricci tensor", Proc. Amer. Matematik. Soc. 123 (1995), nr. 9, 2841-2848. Online eprint (pdf).
T. Bailey, MG Eastwood och AR Gover, "Thomas's Structure Bundle for Conformal, Projective and Related Structures", Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 24, nummer 4, 1191-1217.

Se även