Omega konstant

Den här artikeln handlar om ett specifikt värde för Lamberts W-funktion. För andra omega-konstanter, se omega (disambiguation) § Matematik .

Omega -konstanten är en matematisk konstant definierad som det unika reella talet som uppfyller ekvationen

$\Omega e^{\Omega }=1.$

Det är värdet på W (1) , där W är Lamberts W -funktion . Namnet härleds från det alternativa namnet för Lamberts W -funktion, omega-funktionen . Det numeriska värdet av Ω ges av

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (sekvens A030178 i OEIS ).

1/Ω = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (sekvens A030797 i OEIS ).

Egenskaper

Fast punkt representation

Den definierande identiteten kan uttryckas till exempel som

$\ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .$

eller

$-\ln(\Omega )=\Omega$

såväl som

$e^{-\Omega }=\Omega .$

Beräkning

Man kan beräkna Ω iterativt genom att börja med en initial gissning Ω ₀ och ta hänsyn till sekvensen

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.$

Denna sekvens kommer att konvergera till Ω när n närmar sig oändligheten. Detta beror på att Ω är en attraktiv fixpunkt för funktionen e ^{− x} .

Det är mycket mer effektivt att använda iterationen

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{ n}}}},$

eftersom funktionen

$f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},$

har förutom att ha samma fixpunkt även en derivata som försvinner där. Detta garanterar kvadratisk konvergens; det vill säga antalet korrekta siffror fördubblas ungefär vid varje iteration.

Med Halleys metod kan Ω approximeras med kubisk konvergens (antalet korrekta siffror tredubblas ungefär med varje iteration): (se även Lambert W-funktion § Numerisk utvärdering ) .

$\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{ j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}.$

Integral representationer

En identitet som beror på Victor Adamchik ges av förhållandet

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac { 1}{1+\Omega }}.$

Andra relationer på grund av Mező och Kalugin-Jeffrey-Corless är:

$\Omega ={\frac {1}{\pi }}\ operatornamn {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it} }-e^{it}}}\right)dt,$

$\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{ t\cot t}\right)dt.$

De två sistnämnda identiteterna kan utökas till andra värden av W -funktionen (se även Lambert W-funktion § Representationer ) .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Omega Constant" . MathWorld .
• "Omega konstant (1 000 000 siffror)" , Darkside communication group (i Japan) , hämtad 2017-12-25