Kuipers sats

  Inom matematiken är Kuipers sats (efter Nicolaas Kuiper ) ett resultat av topologin hos operatorer på ett oändligt dimensionellt, komplext Hilbertrum H . Den anger att rymden GL( H ) för inverterbara gränsade endomorfismer av H är sådan att alla kartor från vilket ändligt komplex Y till GL( H ) är homotopiska till en konstant, för normtopologin på operatorer.

En betydande följd, även kallad Kuipers sats , är att denna grupp är svagt sammandragbar , dvs. alla dess homotopigrupper är triviala. Detta resultat har viktiga användningsområden i topologisk K-teori .

Allmän topologi för den allmänna linjära gruppen

För finitdimensionell H skulle denna grupp vara en komplex allmän linjär grupp och inte alls sammandragbar. I själva verket är den homotopi ekvivalent med dess maximala kompakta undergrupp , den enhetliga gruppen U av H. Beviset för att den komplexa generella linjära gruppen och den enhetliga gruppen har samma homotopityp är genom Gram-Schmidt-processen , eller genom matrisens polära sönderdelning , och överförs till det oändligt dimensionella fallet med separerbart Hilbertrum , i grunden på grund av att utrymmet av övre triangulära matriser är sammandragbara, vilket kan ses ganska explicit. Det underliggande fenomenet är att övergång till oändligt många dimensioner gör att mycket av den topologiska komplexiteten hos de enhetliga grupperna försvinner; men se avsnittet om Botts enhetsgrupp, där övergången till oändligheten är mer begränsad, och den resulterande gruppen har icke-triviala homotopigrupper.

Sfärernas historiska sammanhang och topologi

Det är ett överraskande faktum att enhetssfären , ibland betecknad S ^∞ , i det oändliga dimensionella Hilbertrymden H är ett sammandragbart utrymme , medan inga änddimensionella sfärer är sammandragbara. Detta resultat, säkert känt årtionden före Kuipers, kan ha status som matematisk folklore , men det citeras ganska ofta. Faktum är att mer är sant: S ^∞ är diffeomorft till H , vilket säkert är sammandragbart genom sin konvexitet. En konsekvens är att det finns jämna motexempel på en utvidgning av Brouwers fixpunktssats till enhetskulan i H . Förekomsten av sådana motexempel som är homeomorfismer visades 1943 av Shizuo Kakutani , som kanske först skrev ner ett bevis på enhetssfärens sammandragbarhet. Men resultatet var ändå i huvudsak känt (1935 Andrey Nikolayevich Tychonoff att enhetssfären var en indragning av enhetsbollen).

Resultatet på gruppen av avgränsade operatorer bevisades av den holländska matematikern Nicolaas Kuiper , för fallet med ett separerbart Hilbert-utrymme; begränsningen av separerbarhet upphävdes senare. Samma resultat, men för den starka operatortopologin snarare än normtopologin, publicerades 1963 av Jacques Dixmier och Adrien Douady . Det geometriska förhållandet mellan sfären och gruppen av operatorer är att enhetssfären är ett homogent utrymme för den enhetliga gruppen U . Stabilisatorn för en enda vektor v i enhetssfären är den enhetliga gruppen av det ortogonala komplementet av v ; därför förutsäger den homotopi långa exakta sekvensen att alla homotopigrupper i enhetssfären kommer att vara triviala. Detta visar det nära topologiska sambandet, men är i sig inte helt tillräckligt, eftersom inkluderingen av en punkt endast kommer att vara en svag homotopi-ekvivalens , och det innebär kontrakterbarhet direkt endast för ett CW-komplex . I en artikel som publicerades två år efter Kuipers, gav Richard Palais tekniska resultat på oändligt dimensionella grenrör som var tillräckliga för att lösa detta problem.

Botts enhetsgrupp

Det finns en annan oändligt dimensionell enhetlig grupp, av stor betydelse inom homotopiteorin , den som Botts periodicitetssats gäller. Det är absolut inte kontraktionsbart. Skillnaden från Kuipers grupp kan förklaras: Botts grupp är den undergrupp i vilken en given operator agerar icke-trivialt endast på ett delrum som sträcks av det första N av en fixerad ortonormal bas { e _i }, för vissa N , som är identiteten på de återstående basvektorerna.

Ansökningar

En omedelbar konsekvens, med tanke på den allmänna teorin om fiberbuntar , är att varje Hilbert-bunt är en trivial bunt .

Resultatet på sammandragbarheten av S ^∞ ger en geometrisk konstruktion av klassificeringsutrymmen för vissa grupper som verkar fritt på den, såsom den cykliska gruppen med två element och cirkelgruppen . Den enhetliga gruppen U i Botts mening har ett klassificeringsutrymme BU för komplexa vektorbuntar (se Klassificeringsutrymme för U(n) ) . En djupare tillämpning som kommer från Kuipers sats är beviset för Atiyah–Jänich-satsen (efter Klaus Jänich och Michael Atiyah ), som anger att utrymmet för Fredholm-operatorer på H , med normtopologin, representerar funktorn K (.) för topologiska (. komplex) K-teori, i betydelsen homotopi teori. Detta ges av Atiyah.

Fall av Banach utrymmen

Samma fråga kan ställas om inverterbara operatorer på vilket Banach-utrymme som helst med oändlig dimension. Här finns bara delresultat. Vissa klassiska sekvensrum har samma egenskap, nämligen att gruppen av inverterbara operatorer är sammandragbar. Å andra sidan finns det kända exempel där det inte lyckas vara ett uppkopplat utrymme . Där alla homotopigrupper är kända för att vara triviala, kan sammandragbarheten i vissa fall förbli okänd.

• Kuiper, N. (1965). "Homotopitypen av den enhetliga gruppen av Hilbert-rymden" . Topologi . 3 (1): 19–30. doi : 10.1016/0040-9383(65)90067-4 .