Konvergensgrupp

Inom matematik är en konvergensgrupp eller en diskret konvergensgrupp en grupp $\Gamma$ som verkar genom homeomorfismer på ett kompakt mätbart utrymme $M$ på ett sätt som generaliserar egenskaperna hos åtgärden hos Kleinian-gruppen av Möbius transformationer på den ideala gränsen $\mathbb {S} ^{2}$ för hyperboliskt 3-steg $\mathbb {H} ^{3}$ . Begreppet en konvergensgrupp introducerades av Gehring och Martin (1987) och har sedan dess funnit breda tillämpningar inom geometrisk topologi , kvasikonformal analys och geometrisk gruppteori .

Formell definition

Låt $\Gamma$ vara en grupp som verkar genom homeomorfismer på ett kompakt mätbart utrymme $M$ . Denna åtgärd kallas en konvergensåtgärd eller en diskret konvergensåtgärd (och sedan kallas ${\displaystyle \Gamma } en$ konvergensgrupp eller en diskret konvergensgrupp för denna åtgärd) om för varje oändlig distinkt sekvens av element ${\ displaystyle \gamma _{n}\i \Gamma }$ finns det en undersekvens $\gamma _{n_{k}},k=1,2,\dots$ och punkter $a,b\in M$ så att kartorna ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}{\big |}_{M\setminus \{a\}}} konvergerar enhetligt på kompakta delmängder$ till den konstanta kartan och skickar ${ \displaystyle M\setminus \{a\}}$ till $b$ . Här konvergerar enhetligt på kompakta delmängder att för varje öppet område $U$ av $b}$$K\subset M\ setminus \{a\}$ i $M$ och varje kompakt finns det ett index $k_{0}\geq 1$ så att för varje $k\geq k_{0},$$\gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U$ . Observera att "polerna" $a,b\in M$ associerade med undersekvensen $\gamma _{n_{k}}$ inte behöver vara distinkta.

Omformulering i termer av handlingen på distinkta trippel

Ovanstående definition av konvergensgrupp tillåter en användbar ekvivalent omformulering i termer av verkan av $\Gamma$ på "utrymmet av distinkta trippel" av $M$ . För en mängd $M$ betecknar ${\displaystyle \Theta (M):=M^{3}\setminus \Delta (M)} ,$ där $\Delta (M)=\{(a,b,c)\in M^{3 }\mid \#\{a,b,c\}\leq 2\}$ . Mängden $\Theta (M)$ kallas "utrymmet för distinkta trippel" för $M$ .

Då är följande likvärdighet känd för att hålla:

Låt $\Gamma$ vara en grupp som verkar genom homeomorfismer på ett kompakt mätbart utrymme $M$ med minst två punkter. Då är denna åtgärd en diskret konvergensåtgärd om och endast om den inducerade verkan av $\Gamma$ på $\Theta (M)$ är korrekt diskontinuerlig .

Exempel

• Verkan för en kleinsk grupp $\Gamma$ på $\mathbb {S} ^{2}=\partial \mathbb {H} ^{3}$ av Möbius-transformationer är en konvergensgruppsåtgärder.
• Handlingen av en ordhyperbolisk grupp $G$ genom översättningar på dess ideala gräns $\partial G$ är en konvergensgruppsåtgärd.
• Handlingen av en relativt hyperbolisk grupp $G$ genom översättningar på dess Bowditch-gräns $\partial G$ är en konvergensgruppsåtgärd.
• Låt $X$ vara ett riktigt geodetiskt Gromov-hyperboliskt metriskt utrymme och låt $\Gamma$ vara en grupp som agerar korrekt diskontinuerligt av isometrier på $X$ . Då är motsvarande gränsåtgärd för $\Gamma$ på $\partial X$ en diskret konvergensåtgärd (Lemma 2.11 av ).

Klassificering av element i konvergensgrupper

Låt $\Gamma$ vara en grupp som verkar genom homeomorfismer på ett kompakt mätbart utrymme $M$ med minst tre punkter, och låt $\gamma \in \Gamma$ . Då är det känt (Lemma 3,1 tum eller Lemma 6,2 tum) att exakt något av följande inträffar:

(1) Elementet $\gamma$ har ändlig ordning i $\Gamma$ ; i detta fall kallas $\gamma$ elliptisk .

(2) Elementet $\gamma$ har oändlig ordning i $\Gamma$ och den fasta uppsättningen $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ är en enda punkt; i detta fall kallas $\gamma$ parabolisk .

(3) Elementet $\gamma$ har oändlig ordning i $\Gamma$ och den fasta uppsättningen $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ består av två distinkta punkter; i detta fall kallas $\gamma$ loxodromic .

Dessutom, för varje ${\displaystyle p\neq 0} har$ elementen $\gamma$ och $\gamma ^{p}$ samma typ. Även i fall (2) och (3) $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\operatörsnamn {Fix} _{M} (\gamma ^{p})$ (där $p\neq 0$ ) och gruppen $\langle \gamma \rangle$ verkar korrekt diskontinuerligt på $M\setminus \operatörsnamn {Fix} _{M}(\gamma )$ . Dessutom, om $\gamma$ är loxodromic, så agerar $\langle \gamma \rangle$ korrekt diskontinuerligt och kokompakt på $M\setminus \operatorname { Fix} _{M}(\gamma )$ .

Om $\gamma \in \Gamma$ är parabolisk med en fast punkt ${\displaystyle a\in M} så$ har man för varje $x\in M$$\lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty }\gamma ^ {n}x=a$ Om $\gamma \in \Gamma$ är loxodromic, då kan $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ vara skrivet som ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}} så att$ för varje $x\in M\setminus \{a_{-}\}$ har $\lim _{n\to \ infty }\gamma ^{n}x=a_{+}$ och för varje $x\in M\setminus \{a_{+}\}$ har man ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}} ,$ och dessa konvergenser är enhetliga på kompakta delmängder av $M\setminus \{a_{-},a_{+}\}$ .

Enhetliga konvergensgrupper

En diskret konvergensåtgärd för en grupp $\Gamma$ på ett kompakt mätbart utrymme $M$ kallas uniform (i vilket fall $\Gamma$ kallas en enhetlig konvergensgrupp ) om åtgärden av $\Gamma$ på $\Theta (M)$ är co-compact . Således $\Gamma$ en enhetlig konvergensgrupp om och endast om dess verkan på $\Theta (M)$ är både korrekt diskontinuerlig och ko-kompakt.

Koniska gränspunkter

Låt $\Gamma$ agera på ett kompakt mätbart utrymme $M$ som en diskret konvergensgrupp. En punkt $x\in M$ kallas en konisk gränspunkt (ibland även kallad en radiell gränspunkt eller en approximationspunkt ) om det finns en oändlig sekvens av distinkta element $\ gamma _{n}\in \Gamma$ och distinkta punkter $a,b\in M$ så att $\lim _{n\to \ infty }\gamma _{n}x=a$ och för varje $y\in M\setminus \{x\}$ har man ${\ displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b}$ .

Ett viktigt resultat av Tukia , även självständigt erhållet av Bowditch , säger:

En diskret konvergensgruppåtgärd för en grupp $\Gamma$ på ett kompakt mätbart utrymme $M$ är enhetlig om och endast om varje icke-isolerad punkt i $M$ är en konisk gränspunkt.

Ordhyperboliska grupper och deras gränser

Det observerades redan av Gromov att den naturliga handlingen genom översättningar av en ordhyperbolisk grupp $G$ på dess gräns $\partial G$ är en enhetlig konvergensåtgärd (se för ett formellt bevis). Bowditch visade sig vara en viktig motsats, och fick därmed en topologisk karakterisering av ordhyperboliska grupper:

Sats. Låt $G$ fungera som en diskret enhetlig konvergensgrupp på ett kompakt mätbart utrymme $M$ utan isolerade punkter. Då är gruppen $G$ ordhyperbolisk och det finns en $G$ -ekvivariant homeomorfism $M\to \partial G$ .

Konvergensåtgärder på cirkeln

En isometrisk åtgärd av en grupp $G$ på det hyperboliska planet $\mathbb {H} ^{2}$ kallas geometrisk om denna åtgärd är korrekt diskontinuerlig och kokompakt. Varje geometrisk åtgärd av $G$ på $\mathbb {H} ^{2}$ inducerar en enhetlig konvergensverkan av $G$ på ${\ displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\partial H^{2}\approx \partial G}$ . Ett viktigt resultat av Tukia (1986), Gabai (1992), Casson–Jungreis (1994) och Freden (1995) visar att det omvända också gäller:

Sats. Om $G$ är en grupp som fungerar som en diskret enhetlig konvergensgrupp på $\mathbb {S} ^{1}$ så är denna åtgärd topologiskt konjugerad till en åtgärd inducerad av en geometrisk verkan av ${ \displaystyle G}$ på $\mathbb {H} ^{2}$ med isometrier.

Observera att närhelst $G$ verkar geometriskt på ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} ,$ är gruppen $G$ praktiskt taget en hyperbolisk ytgrupp, det vill säga $G$ innehåller en finit index-undergrupp som är isomorf till grundgruppen av en sluten hyperbolisk yta.

Konvergensåtgärder på 2-sfären

En av motsvarande omformuleringar av Cannons gissningar , ursprungligen ställd av James W. Cannon i termer av ordhyperboliska grupper med hemomorfa gränser till $\mathbb {S} ^{2}$ , säger att om $G$ är en grupp som fungerar som en diskret enhetlig konvergensgrupp på $\mathbb {S} ^{2}$ då denna åtgärd är topologiskt konjugerad till en åtgärd inducerad av en geometrisk verkan av $G$ på $\mathbb {H} ^{3}$ med isometrier. Denna gissning är fortfarande öppen.

Tillämpningar och ytterligare generaliseringar

• Yaman gav en karakterisering av relativt hyperboliska grupper i termer av konvergensåtgärder, och generaliserade Bowditchs karakterisering av ordhyperboliska grupper som enhetliga konvergensgrupper.
• Man kan överväga mer generella versioner av gruppåtgärder med "konvergensegenskap" utan diskretitetsantagandet.
• Den mest generella versionen av begreppet Cannon–Thurston-karta , som ursprungligen definierades i sammanhanget av Kleinian och ordhyperboliska grupper, kan definieras och studeras i samband med inställningen av konvergensgrupper.