Geometrisk gruppåtgärd

Inom matematiken , närmare bestämt geometrisk gruppteori , är en geometrisk grupphandling en viss typ av handling av en diskret grupp på ett metriskt utrymme .

Definition

I geometrisk gruppteori är en geometri ett riktigt , geodetiskt metriskt utrymme . En åtgärd av en ändligt genererad grupp G på en geometri X är geometrisk om den uppfyller följande villkor:

1. Varje element i G fungerar som en isometri av X .
2. Handlingen är cocompact , dvs kvotutrymmet X / G är ett kompakt space .
3. Åtgärden är korrekt diskontinuerlig , där varje punkt har en ändlig stabilisator .

Unikhet

Om en grupp G verkar geometriskt på två geometrier X och Y , då är X och Y kvasi-isometriska . Eftersom vilken grupp som helst agerar geometriskt på sin egen Cayley-graf , är varje utrymme där G agerar geometriskt kvasi-isometriskt till Cayley-grafen för G .

Exempel

Cannons gissningar säger att varje hyperbolisk grupp med en 2-sfär i oändligheten verkar geometriskt på hyperbolisk 3-rymd.

•   Cannon, James W. (2002). "Geometrisk gruppteori". Handbok i geometrisk topologi . Nord-Holland. s. 261–305. ISBN 0-444-82432-4 .