Stel kategori

I kategoriteorin , en gren av matematiken , är en stel kategori en monoidal kategori där varje objekt är stel, det vill säga har ett dubbelt X ^* (den inre Hom [ X , 1 ]) och en morfism 1 → X ⊗ X ^* som uppfyller naturliga förhållanden. Kategorien kallas högerstyv eller vänsterstyv beroende på om den har högerdualer eller vänsterdualer. De definierades först (efter Alexandre Grothendieck ) av Neantro Saavedra Rivano i hans avhandling om Tannakian-kategorier .

Definition

Det finns minst två likvärdiga definitioner av en stelhet.

• Ett objekt X i en monoidal kategori kallas vänsterstyvt om det finns ett objekt Y och morfismer $\eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y$ och $\epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1}$ så att båda kompositionerna

$X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~ X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X$

$Y~{\xrightarrow {\mathrm {id } _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X )\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y$

är identiteter. Ett rätt stel objekt definieras på liknande sätt.

En invers är ett objekt X ⁻¹ så att både X ⊗ X ⁻¹ och X ⁻¹ ⊗ X är isomorfa till 1 , identitetsobjektet för den monoidala kategorin. Om ett objekt X har en vänster (respektive höger) invers X ⁻¹ med avseende på tensorprodukten så är det vänster (respektive höger) stel, och X ^* = X ⁻¹ .

Operationen att ta dubbla ger en kontravariant funktion på en stel kategori.

Används

En viktig tillämpning av stelhet är i definitionen av spåret av en endomorfism av ett stel objekt. Spåret kan definieras för vilken pivotal kategori som helst , dvs en stel kategori så att ( ) ^** , funktionsfaktorn för att ta dubbelt upprepat två gånger, är isomorf till identitetsfunktorn. Sedan kan vi definiera isomorfismen för alla rätt stela objekt X , och alla andra objekt Y

$\phi _ {X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} ( X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.$

och dess ömsesidiga isomorfism

$\psi _{X,Y} :\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\ \g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.$ .

Sedan för varje endomorfism $f:X\to X$ , är spåret av f definierat som kompositionen:

$\mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1 } {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\ xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,$

Vi kan fortsätta vidare och definiera dimensionen av ett stel objekt som:

$\dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}$ .

Styvhet är också viktig på grund av dess relation till interna Hom's. Om X är ett vänsterstelt objekt, så existerar varje intern Hom av formen [ X , Z ] och är isomorf till Z ⊗ Y . I synnerhet i en stel kategori existerar alla interna Hom.

Alternativ terminologi

En monoidal kategori där varje objekt har en vänster (respektive höger) dual kallas också ibland en vänster (respektive höger) autonom kategori. En monoidal kategori där varje objekt har både en vänster- och en högerdual kallas ibland för en autonom kategori . En autonom kategori som också är symmetrisk kallas en kompakt sluten kategori .

Diskussion

En monoidal kategori är en kategori med en tensorprodukt, just den typ av kategori för vilken stelhet är meningsfull.

Kategorin rena motiv bildas genom att stelna kategorin effektiva rena motiv.

Anteckningar

• Davydov, AA (1998). "Monoidala kategorier och funktioner". Journal of Mathematical Sciences . 88 (4): 458–472. doi : 10.1007/BF02365309 .
• Stel monoid kategori vid n Lab