Kartesisk monoidal kategori
Inom matematiken , specifikt inom området som kallas kategoriteori , kallas en monoidal kategori där den monoidala ("tensor") produkten är den kategoriska produkten en kartesisk monoidal kategori . Vilken kategori som helst med ändliga produkter (en "ändlig produktkategori") kan ses som en kartesisk monoidal kategori. I varje kartesisk monoidal kategori terminalobjektet den monoidala enheten. Dualt kallas en monoidal finit samproduktkategori med den monoidala strukturen som ges av samprodukten och enheten det initiala objektet en cocartesian monoidal kategori , och varje finit samproduktkategori kan ses som en cocartesian monoidal kategori.
Kartesiska kategorier med en intern Hom-funktion som är en adjoint funktion till produkten kallas kartesiska slutna kategorier .
Egenskaper
Kartesiska monoidala kategorier har ett antal speciella och viktiga egenskaper, såsom förekomsten av diagonala kartor Δ x : x → x ⊗ x och förstärkningar e x : x → I för vilket objekt som helst x . I applikationer till datavetenskap kan vi tänka på Δ som "duplicera data" och e som "radera data". Dessa kartor gör vilket objekt som helst till en komonoid . Faktum är att varje föremål i en kartesisk monoidal kategori blir en samonoid på ett unikt sätt.
Exempel
Kartesiska monoidala kategorier:
- Set , kategorin av set med singleton-setet som enhet.
- Cat , tvåkategorin av små kategorier med produktkategorin , där kategorin med ett objekt och endast dess identitetskarta är enheten.
Kokartesiska monoidala kategorier:
- Vect , kategorin av vektorrum över ett givet fält , kan göras cocartesian monoidal med den monoidala produkten som ges av den direkta summan av vektorrymden och det triviala vektorutrymmet som enhet.
- Ab , kategorin abelska grupper , med den direkta summan av abelska grupper som monoidal produkt och trivialagruppen som enhet.
- Mer generellt blir kategorin R - Mod av (vänster) moduler över en ring R ( kommutativ eller inte) en kokartesisk monoidal kategori med den direkta summan av moduler som tensorprodukt och den triviala modulen som enhet.
I var och en av dessa kategorier av moduler utrustade med en cocartesian monoidal struktur sammanfaller ändliga produkter och samprodukter (i den meningen att produkten och samprodukten av ändligt många objekt är isomorfa). Eller mer formellt, om f : X 1 ∐ ... ∐ X n → X 1 × ... × X n är den "kanoniska" kartan från den n -ära samprodukten av objekt X j till deras produkt, för ett naturligt tal n , i händelse av att kartan f är en isomorfism , säger vi att en biprodukt för objekten X j är ett objekt isomorf till och tillsammans med kartor i j : X j → X och p j : X → X j så att paret ( X , { i j } ) är ett samproduktdiagram för objekten X j och paret ( X , { p j }) är ett produktdiagram för objekten X j , och där p j ∘ i j = id X j . Om den aktuella kategorin dessutom har ett nollobjekt , så att det för eventuella objekt A och B finns en unik karta 0 A , B : A → 0 → B , följer ofta att p k ∘ i j = : δ ij , Kroneckerdeltat , där vi tolkar 0 och 1 som 0 - kartor och identitetskartor för objekten X j respektive X k . Se kategorin pre-additiv för mer.
