Kiepert koniker

I triangelgeometri är Kiepert -konikerna två speciella koniker som är associerade med referenstriangeln. En av dem är en hyperbel som kallas Kiepert-hyperbeln och den andra är en parabel som kallas Kiepert-parabeln . Kiepert-konikerna definieras enligt följande:

Om de tre trianglarna $A^{\prime }BC$ , $AB^{\prime }C$ och $ABC^{\prime }$ , konstruerade på sidorna av en triangel $ABC$ som baser, är lika, likbenta och på liknande sätt placerade, då trianglarna $ABC$ och $A^ {\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ är i perspektiv . Eftersom basvinkeln för de likbenta trianglarna varierar mellan $-\pi /2$ och $\pi /2$ , är lokuset för trianglarnas perspektivcentrum ${ \displaystyle ABC}$ och $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ är en hyperbel som kallas Kiepert-hyperbeln och enveloppen för deras perspektivaxel är en parabel som kallas Kiepert-parabeln.

Det har bevisats att Kiepert-hyperbeln är hyperbeln som passerar genom hörnen, tyngdpunkten och ortocentrum av referenstriangeln och Kiepert-parabeln är parabeln inskriven i referenstriangeln med Eulerlinjen som riktlinje och triangelns centrum X ₁₁₀ som fokus . Följande citat från en artikel av RH Eddy och R. Fritsch är tillräckligt vittnesbörd för att fastställa betydelsen av Kiepert-käglarna i studiet av triangelgeometri:

"Om en besökare från Mars ville lära sig triangelns geometri men bara kunde stanna i jordens relativt täta atmosfär tillräckligt länge för en enda lektion, skulle jordiska matematiker utan tvekan ha svårt att möta denna begäran. I denna artikel , vi tror att vi har en optimal lösning på problemet. Kiepert-konikerna ...."

Kiepert hyperbel

Kiepert-hyperbolen upptäcktes av Ludvig Kiepert när han undersökte lösningen av följande problem som föreslogs av Emile Lemoine 1868: "Konstruera en triangel, med tanke på topparna på de liksidiga trianglarna konstruerade på sidorna." En lösning på problemet publicerades av Ludvig Kiepert 1869 och lösningen innehöll en anmärkning som effektivt angav den tidigare anspelade lokaliseringen av Kiepert-hyperbolen.

Grundläggande fakta

Låt $a,b,c$ vara sidolängderna och $A,B,C$ vertexvinklarna för referenstriangeln $ABC$ .

Ekvation

Ekvationen för Kiepert-hyperbolen i barycentriska koordinater $x:y:z$ är

${\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.$

Center, asymptoter

• Centrum för Kiepert-hyperbeln är triangelcentrum X(115). De barycentriska koordinaterna för mitten är

$(b^{2}-c^{2})^ {2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}$ .

• Kiepert-hyperbolens asymptoter är Simson-linjerna för skärningspunkterna mellan Brocard-axeln och den omslutna cirkeln .
• Kiepert-hyperbeln är en rektangulär hyperbel och därför är dess excentricitet ${\sqrt {2}}$ .

Egenskaper

1. Centrum av Kiepert-hyperbolen ligger på niopunktscirkeln . Centrum är mittpunkten av linjesegmentet som förenar de isogoniska mittpunkterna i triangeln $ABC$ som är triangelcentrumen X(13) och X(14) i Encyclopedia of Triangle Centers.
2. Bilden av Kiepert-hyperbolen under den isogonala transformationen är Brocard-axeln för triangeln $ABC$ som är linjen som förenar symmedianpunkten och circumcenter .
3. Låt $P$ vara en punkt i planet för en icke-liksidig triangel $ABC$ och låt $p$ vara den trilinjära polar av $P$ med avseende på $ABC$ . Lokuset för punkterna $P$ så att $p$ är vinkelrät mot Eulerlinjen i $ABC$ är Kiepert-hyperbeln.

Kiepert parabel

Kiepert-parabeln studerades första gången 1888 av en tysk matematiklärare Augustus Artzt i ett "skolprogram".

Grundläggande fakta

• Ekvationen för Kiepert-parabeln i barycentriska koordinater $x:y:z$ är

$f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0$ där $f=(b^{2}-c ^{2})/a,g=(c^{2}-a^{2})/b,h=(a^{2}-b^{2})/c$ .

• Fokus för Kiepert-parabeln är triangelns centrum X(110). Fokusets barycentriska koordinater är

$a^{2}/(b ^{2}-c^{2}):b^{2}/(c^{2}-a^{2}):c^{2}/(a^{2}-b^{2} )$

• Riktningen för Kiepert-parabeln är Euler-linjen i triangeln $ABC$ .

Bilder

• 

  Kiepert hyperbel som visar perspektivcentrum för trianglarna ABC och A'B'C'

• 

  Kiepert hyperbel som visar ortocenter, incenter och de vinkelräta asymptoterna

• 

  Kiepert parabel av triangel ABC. Figuren visar också en medlem (linje LMN) i familjen av linjer vars omslag är Kiepert-parabeln.

• 

  Kiepert parabel som visar fokus och riktning

Se även

• Triangel konisk
• Modern triangelgeometri

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Kiepert Hyperbola" . MathWorld - En Wolfram webbresurs . Hämtad 5 februari 2022 .
• Weisstein, Eric W. "Kiepert Parabola" . MathWorld - En Wolfram webbresurs . Hämtad 5 februari 2022 .