Triangel konisk

I triangelgeometri är en triangelkonisk en konisk i referenstriangelns plan och associerad med den på något sätt. Till exempel är den omslutna cirkeln och incirkeln av referenstriangeln triangelkoniska. Andra exempel är Steiner-ellipsen som är en ellips som passerar genom hörnen och har sitt centrum i referenstriangelns tyngdpunkt , Kiepert-hyperbolen som är en kon som passerar genom hörnen, tyngdpunkten och ortocentrum i referenstriangeln och Artzt paraboler som är paraboler som berör två sidlinjer i referenstriangeln vid triangelns hörn. Terminologin för triangelkonisk används flitigt i litteraturen utan en formell definition, det vill säga utan att exakt formulera de relationer som en konisk bör ha med referenstriangeln för att kvalificera den för att kallas en triangelkonisk (se,). WolframMathWorld har en sida med titeln "Triangel conics" som ger en lista med 42 objekt (inte alla är koniska) utan att ge en definition av triangelkoniska. Men Paris Pamfilos i sin omfattande samling av ämnen inom geometri och ämnen inom andra områden relaterade till geometri definierar en triangelkonisk som en "konisk som omger en triangel ABC (det vill säga passerar genom dess hörn) eller inskriven i en triangel (det vill säga, tangent till dess sidolinjer)". Terminologitriangelcirkeln (respektive ellips , hyperbel , parabel ) används för att beteckna en cirkel (respektive ellips, hyperbel, parabel ) associerad med referenstriangeln på något sätt.

Även om flera triangelkoner har studerats individuellt, finns det ingen heltäckande uppslagsverk eller katalog över triangelkoner som liknar Karl Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers (som innehåller definitioner och egenskaper för mer än 46 000 triangelcentrum) eller Bernard Giberts Catalog of Triangle Cubics som innehåller detaljerad information. beskrivningar av mer än 1200 triangelkubiker.

Ekvationer av triangelkoner i trilinjära koordinater

Ekvationen för en allmän triangelkonisk i trilinjära koordinater $x:y:z:$ har formen

rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+ 2uyz+2vzx+2wxy=0.

Ekvationerna för triangelcirkumkoniska och triangelinkoniska formerna har respektive form

uyz+vzx+wxy=0

och

l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy =0.

Särskilda triangelkoner

I det följande diskuteras några typiska speciella triangelkoner. I beskrivningarna används standardbeteckningarna: Referenstriangeln betecknas alltid med ABC. Vinklarna vid hörnen A, B, C betecknas med A, B, C och längderna på sidorna motsatta hörnen A, B, C är respektive a . b , c . Konikernas ekvationer ges i de trilinjära koordinaterna ( x : y : z ). Konikerna är valda för att illustrera de flera olika sätten på vilka en kägel kan associeras med en triangel.

Triangelcirklar

Triangelcirklarna är för många för att listas i den här artikeln. Till exempel, i WolframMathWorld, finns det en sida med titeln "Triangel Circles" som innehåller en lista med 139 objekt även om inte alla är cirklar och några av de olika objekten är olika namn för samma objekt.

Några välkända triangelcirklar
Nej.	namn	Definition	Ekvation	Figur
1	Omringa	Cirkel som går genom hörnen	${\frac {a}{x}}+{\frac {b}{y}}+{\frac {c}{z}}=0$	Omkrets av triangel ABC
2	Inringa	Cirkel som rör sidlinjen internt	$\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2 }}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac { C}{2}}\right)=0$	Incirkel av triangel ABC
3	Excirklar (eller beskrivna cirklar)	En cirkel som ligger utanför triangeln, tangerar en av dess sidor och tangerar förlängningarna av de andra två. Varje triangel har tre distinkta cirklar.	$\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A} {2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\ frac {C}{2}}\right)=0$ $\pm {\sqrt {x }}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)=0$ $\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\ frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)=0$	Incirkel och cirklar
4	Niopunktscirkel (eller Feuerbachs cirkel, Eulers cirkel, Terquems cirkel)	Cirkel som går genom sidornas mittpunkt, höjdfoten och linjesegmentens mittpunkter från varje vertex till ortocentrum	${\begin{aligned }&x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C\\&-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0 \end{aligned}}$	De nio poängen
5	Lemoine cirkel	Rita linjer genom Lemoine-punkten (symmedianpunkten) $K$ och parallellt med sidorna av triangeln ABC. Punkterna där linjerna skär sidorna ligger på en cirkel som kallas Lemoine-cirkeln.		Lemoine cirkel av triangel ABC

Triangelellipser

Några välkända triangelellipser
Nej.	namn	Definition	Ekvation	Figur
1	Steiner ellips	Kägel som passerar genom hörnen på triangeln ABC och har centrum vid triangelns ABC tyngdpunkt	${\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{by}}+{\frac {1}{cz}}=0$	Steiner ellips av triangel ABC
2	Steiner inellips	Ellips som rör vid sidlinjen i mitten av sidorna	$a^{2}x^{2}+b^{ 2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2bcyz-2cazx-2abxy=0$	Steiner inellips av triangel ABC

Triangelhyperboler

Några välkända triangelhyperboler
Nej.	namn	Definition	Ekvation	Figur
1	Kiepert hyperbel	Om de tre trianglarna XBC, YCA och ZAB, konstruerade på sidorna av den givna triangeln ABC som baser, är lika, likbenta och på liknande sätt belägna, så överensstämmer linjerna AX, BY, CZ i en punkt N. Platsen för N är Kiepert hyperbel.	${\displaystyle {\frac {\sin(BC)}{x}}+ {\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0.}$	Kiepert hyperbel av triangel ABC . Hyperbeln passerar genom hörnen ( A , B , C ), ortocentrum ( O ) och tyngdpunkten ( G ) i triangeln.
2	Jerabek hyperbel	Koniken som passerar genom hörn, ortocentrum och omkretscentrum i referenstriangeln är känd som Jerabek-hyperbolen. Det är alltid en rektangulär hyperbel.	${\begin{aligned }&{\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+\\&{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}+\\&{\ frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0\end{aligned}}$	Jerabek hyperbel av triangel ABC

Triangelparaboler

Några välkända triangelparaboler
Nej.	namn	Definition	Ekvation	Figur
1	Artzt paraboler	En parabel som tangerar vid B, C till sidorna AB, AC och två andra liknande paraboler.	${\begin{aligned}{\frac {x^{2 }}{a^{2}}}-{\frac {4yz}{bc}}&=0\\{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {4zx }{ca}}&=0\\{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {4xy}{ab}}&=0\end{aligned}}$	Artzt paraboler av triangel ABC
2	Kiepert parabel	Låt tre liknande likbenta trianglar A'BC, AB'C och ABC' konstrueras på sidorna av en triangel ABC. Sedan är höljet för perspektivaxeln trianglarna ABC och A'B'C' Kieperts parabel.	$f^{2}x^{2}+g^{ 2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0$ där $f=b^{2}-c^{2},g=c^{2}-a^{2},h=a^{2}-b^{2}$	Kiepert parabel av triangel ABC. Figuren visar också en medlem (linje LMN) i familjen av linjer vars omslag är Kiepert-parabeln.

Familjer av triangelkoner

Hofstadter ellipser

Familj av Hofstadter koniska triangel ABC

En Hofstadter -ellips är en medlem av en enparameterfamilj av ellipser i planet för triangeln ABC definierad av följande ekvation i trilinjära koordinater:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left(D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right) +zx\left(E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right)+xy\left(F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\ höger)=0

där t är en parameter och

{\begin{aligned}D(t)&=\cos(A)-\sin(A)\cot(tA)\\E (t)&=\cos(B)-\sin(B)\cot(tB)\\F(t)&=\sin(C)-\cos(C)\cot(tC)\end{aligned} }

.

Ellipserna som motsvarar t och 1 - t är identiska. När $t=1/2$ har vi inellipsen

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0

och när $t\rightarrow 0$ har vi cirkumellipsen

{\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}= 0.

Thomsons och Darboux koniker

Familjen av Thomson-käglor består av de käglor som är inskrivna i referenstriangeln ABC som har egenskapen att normalerna vid kontaktpunkterna med sidlinjerna är samtidiga. Familjen av Darboux-koniker innehåller som medlemmar de omskrivna konerna i referenstriangeln ABC, så att normalerna vid ABC:s hörn är samtidiga. I båda fallen ligger punkterna för samtidighet på Darboux-kubiken.

Konisk associerad med parallella skärningar

Koner associerade med parallella skärningar

Givet en godtycklig punkt i planet för referenstriangeln ABC, om linjer dras genom P parallellt med sidlinjerna BC, CA och AB som skär de andra sidorna vid X b , X _c_, Y _c , _Ya , Za _, Z _b då ligger dessa sex skärningspunkter på en kon. Om P väljs som symmedianpunkt är den resulterande koniska cirkeln en cirkel som kallas Lemoine-cirkeln. Om de trilinjära koordinaterna för P är $(u:v:w)$ är ekvationen för den sexpunktiga koniken

{\begin{aligned}&-(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+ abwxy)\\&+(ax+by+bz)(vw(v+w)bx+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0.\end{aligned}}

Yff koniker

Yff Conics

Medlemmarna i en-parameterfamiljen av koner definierade av ekvationen

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+ zx+xy)=0,

där $\lambda$ är en parameter, är Yff-konikerna associerade med referenstriangeln ABC. En medlem av familjen associeras med varje punkt P( u : v : w ) i planet genom att ställa in

\lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.

Yff-koniken är en parabel if

{\displaystyle \lambda ={\frac {a^{2}+b^ {2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}} (säg

) .

Det är en ellips om $\lambda <\lambda _{0}$ och $\lambda _{0}>{\frac {1}{2}}$ och det är en hyperbel om $\lambda _{0}<\lambda <-1$ . För $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$ är käglarna imaginära.

Se även