Perspektiv (geometri)
Två figurer i ett plan är perspektiv från en punkt O , kallad perspektivcentrum om linjerna som förbinder motsvarande punkter på figurerna alla möts vid O . Dualt sägs figurerna vara perspektiv från en linje om skärningspunkterna för motsvarande linjer alla ligger på en linje. Den korrekta inställningen för detta koncept är i projektiv geometri där det inte kommer att finnas några speciella fall på grund av parallella linjer eftersom alla linjer möts. Även om det anges här för figurer i ett plan, kan konceptet enkelt utökas till högre dimensioner.
Terminologi
Linjen som går genom punkterna där figurens motsvarande sidor skär är känd som perspektivaxeln , perspektivaxeln , homologiaxeln eller arkaiskt perspektrix . Siffrorna sägs vara perspektiv från denna axel. Den punkt där linjerna som förenar de motsvarande hörnen av perspektivfigurerna skär varandra kallas perspektivcentrum , perspektivcentrum , homologicentrum , pol eller arkaiskt perspektör . Siffrorna sägs vara perspektiv från detta centrum.
Perspektivitet
Om var och en av perspektivfigurerna består av alla punkter på en linje (ett intervall ) kallas omvandling av punkterna i ett intervall till det andra en central perspektiv . En dubbel transformation, som tar alla linjer genom en punkt (en penna ) till en annan penna med hjälp av en perspektivaxel kallas en axiell perspektiv .
Trianglar
Ett viktigt specialfall uppstår när figurerna är trianglar . Två trianglar som är perspektiv från en punkt kallas ett centralt par och två trianglar som är perspektiv från en linje kallas ett axiellt par .
Notation
Karl von Staudt introducerade notationen för att indikera att trianglar ABC och abc är perspektiv.
Relaterade satser och konfigurationer
Desargues sats säger att ett centralt par trianglar är axiellt. Det omvända påståendet, ett axiellt par trianglar är centralt, är ekvivalent (endera kan användas för att bevisa den andra). Desargues sats kan bevisas i det verkliga projektiva planet , och med lämpliga modifieringar för speciella fall, i det euklidiska planet . Projektiva plan där detta resultat kan bevisas kallas desarguesiska plan .
Det finns tio punkter förknippade med dessa två typer av perspektiv: sex på de två trianglarna, tre på perspektivaxeln och en i perspektivets centrum. Dubbelt finns det också tio linjer förknippade med två perspektivtrianglar: tre sidor av trianglarna, tre linjer genom perspektivets centrum och perspektivaxeln. Dessa tio punkter och tio linjer utgör en instans av Desargues-konfigurationen .
Om två trianglar är ett centralt par på minst två olika sätt (med två olika associationer av motsvarande hörn och två olika perspektivcentrum) så är de perspektiv på tre sätt. Detta är en av de likvärdiga formerna av Pappus (hexagon) sats . När detta händer bildar de nio associerade punkterna (sex triangelhörn och tre centra) och nio associerade linjer (tre genom varje perspektivcentrum) en instans av Pappus- konfigurationen .
Reye -konfigurationen bildas av fyra fyrfaldiga perspektivtetraedrar på ett analogt sätt med Pappus-konfigurationen.
Se även
Anteckningar
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0 , MR 0123930
- Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
- Young, John Wesley (1930), Projective Geometry , The Carus Mathematical Monographs (#4), Mathematical Association of America