Konjugera punkter

I differentialgeometri är konjugerade punkter eller brännpunkter , ungefär, punkter som nästan kan förenas med en 1-parameters familj av geodetik . Till exempel, på en sfär är nordpolen och sydpolen förbundna med vilken meridian som helst . En annan synpunkt är att konjugerade punkter berättar när geodetiken inte lyckas vara längdminimerande. All geodetik är lokalt längdminimerande, men inte globalt. Till exempel på en sfär kan alla geodetiska delar som passerar genom nordpolen förlängas för att nå sydpolen, och följaktligen är alla geodetiska segment som förbinder polerna inte (unikt) globalt längdminimerande. Detta säger oss att alla par av antipodalpunkter på standard 2-sfären är konjugerade punkter.

Definition

Antag att p och q är punkter på ett Riemann-grenrör och $\gamma$ är en geodetik som förbinder p och q . Då är p och q konjugerade punkter längs $\gamma$ om det finns ett Jacobi-fält som inte är noll längs $\gamma$ som försvinner vid p och q .

Kom ihåg att vilket Jacobi-fält som helst kan skrivas som derivatan av en geodesisk variation (se artikeln om Jacobi-fält) . Därför, om p och q är konjugerade längs $\gamma$ , kan man konstruera en familj av geodetik som börjar vid p och nästan slutar vid q . I synnerhet, om $\gamma _{s}(t)$ är familjen av geodetik vars derivata i s vid $s=0$ genererar Jacobi-fältet J , då slutet punkten för variationen, nämligen $\gamma _{s}(1)$ , är punkten q endast upp till första ordningen i s . Därför, om två punkter är konjugerade, är det inte nödvändigt att det finns två distinkta geodesiker som förenar dem.

Exempel

På sfären $S^{2}$ är antipodalpunkter konjugerade .
På $\mathbb {R} ^{n}$ finns det inga konjugerade punkter.
På Riemannska grenrör med icke-positiv sektionskrökning finns det inga konjugerade punkter.

Se även