Geodesisk avvikelse

I allmän relativitetsteori , om två objekt sätts i rörelse längs två initialt parallella banor, kommer närvaron av en tidvattengravitationskraft att få banorna att böjas mot eller bort från varandra, vilket ger en relativ acceleration mellan objekten.

Matematiskt beskrivs tidvattenkraften i allmän relativitet av Riemann-kurvaturtensorn , och banan för ett objekt enbart under påverkan av gravitationen kallas en geodetisk . Den geodetiska avvikelseekvationen relaterar Riemann-kurvaturtensorn till den relativa accelerationen av två närliggande geodesiker. I differentialgeometri är den geodetiska avvikelseekvationen mer allmänt känd som Jacobi-ekvationen .

Matematisk definition

För att kvantifiera geodetiska avvikelser börjar man med att sätta upp en familj av nära åtskilda geodesiker indexerade med en kontinuerlig variabel s och parametriserad av en affin parameter τ. Det vill säga, för varje fast s är kurvan som svepas ut av γ _s (τ) när τ varierar en geodetisk. När man överväger geodetiken för ett massivt föremål är det ofta bekvämt att välja τ för att vara objektets rätta tid . Om x ^μ ( s , τ) är koordinaterna för den geodetiska γ _s (τ), så är tangentvektorn för denna geodetiska

$T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu}(s,\tau )}{\partial \tau }}.$

Om τ är rätt tid, så är T ^μ fyrhastigheten för objektet som färdas längs geodetiken.

Man kan också definiera en avvikelsevektor , som är förskjutningen av två objekt som färdas längs två oändligt separerade geodetik:

$X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu}(s,\tau )}{\partial s}}.$

Den relativa accelerationen A ^μ av de två objekten definieras, grovt sett, som andraderivatan av separationsvektorn X ^μ när objekten avancerar längs sina respektive geodetiska delar. Specifikt hittas A ^{μ genom att ta den riktade} kovariansderivatan av X längs T två gånger:

$A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta}\nabla _{\beta}X^{\mu }\right).$

Den geodetiska avvikelseekvationen relaterar A ^μ , T ^μ , X ^μ och Riemann-tensorn R ^μ _νρσ :

$A^{\mu }={R^{\mu}}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu}T^{\rho }X^{\sigma }.$

En alternativ notation för den riktade kovariansderivatan $T^{\alpha }\nabla _{\alpha }$ är $D/d\tau$ , så den geodetiska deviationsekvationen kan också skrivas som

${\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu}}_{\nu \rho \sigma }T^{ \nu }T^{\rho }X^{\sigma }.$

Den geodetiska avvikelseekvationen kan härledas från den andra variationen av punktpartikeln Lagrangian längs geodetik, eller från den första variationen av en kombinerad Lagrangian. Lagrangemetoden har två fördelar. Först tillåter det olika formella metoder för kvantisering att tillämpas på det geodetiska avvikelsesystemet. För det andra gör det att avvikelse kan formuleras för mycket mer allmänna objekt än geodesik (vilket som helst dynamiskt system som har en rymdtidsindexerad rörelsemängd verkar ha en motsvarande generalisering av geodetisk avvikelse).

Gräns ​​för svagt fält

Sambandet mellan geodetisk avvikelse och tidvattenacceleration kan ses mer explicit genom att undersöka geodetisk avvikelse i svagfältsgränsen , där metriken är ungefär Minkowski, och hastigheterna för testpartiklar antas vara mycket mindre än c . Då är tangentvektorn T ^μ ungefär (1, 0, 0, 0); dvs endast den tidsliknande komponenten är icke-noll.

De rumsliga komponenterna för den relativa accelerationen ges då av

$A^{i}=-{R^{i}}_{0j0}X^{j},$

där i och j går endast över de rumsliga indexen 1, 2 och 3.

I det speciella fallet med ett mått som motsvarar den newtonska potentialen Φ( x , y , z ) för ett massivt objekt vid x = y = z = 0, har vi

${R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{ i}\partial x^{j}}},$

som är tidvattenstensorn för den newtonska potentialen.

Se även

• Bernhard Riemann
• Krökning
• Ordlista över Riemannsk och metrisk geometri

•   Stephani, Hans (1982), Allmän relativitetsteori - en introduktion till teorin om gravitationsfältet , Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3 .
•   Wald, Robert M. (1984), General Relativity , ISBN 978-0-226-87033-5 .

externa länkar

• Allmän relativitet och kvantkosmologi
• Tensorer och relativitet: Geodesisk avvikelse Arkiverad 2011-11-16 på Wayback Machine