Invariant konvex kon

Inom matematiken är en invariant konvex kon en sluten konvex kon i en Lie-algebra av en sammankopplad Lie-grupp som är invariant under inre automorfismer . Studiet av sådana kottar initierades av Ernest Vinberg och Bertram Kostant .

För en enkel Lie-algebra tvingar förekomsten av en invariant konvex kon Lie-algebra att ha en hermitisk struktur, dvs. den maximala kompakta undergruppen har mitten isomorft mot cirkelgruppen . Den invarianta konvexa konen som genereras av en generator av Lie-algebra i centrum är stängd och är den minimala invarianta konvexa konen (upp till ett tecken). Den dubbla konen med avseende på Killing-formen är den maximala invarianta konvexa konen. Varje mellankon bestäms unikt av dess skärning med Lie-algebra för en maximal torus i en maximal kompakt undergrupp. Skärningen är invariant under Weyl-gruppen för den maximala torusen och omloppsbanan för varje punkt i det inre av konen skär det inre av Weyl-gruppens invarianta kon.

För den verkliga symplektiska gruppen sammanfaller den maximala och minimala konen, så det finns bara en invariant konvex kon. När den ena är ordentligt innesluten i den andra, finns det ett kontinuum av mellanliggande invarianta konvexa koner.

Invarianta konvexa koner uppstår i analysen av holomorfa semigrupper i komplexiseringen av Lie-gruppen, först studerad av Grigori Olshanskii. De är naturligt förknippade med hermitiska symmetriska utrymmen och deras tillhörande holomorfa diskreta serier . Halvgruppen är uppbyggd av de element i komplexifieringen som, när de verkar på det hermitiska symmetriska utrymmet av kompakt typ, lämnar invariant den avgränsade domänen som motsvarar den icke-kompakta dualen. Halvgruppen verkar av kontraktionsoperatorer på den holomorfa diskreta serien; dess inre agerar av Hilbert-Schmidt-operatörer . Den enhetliga delen av deras polära sönderdelning är operatorn som motsvarar ett element i den ursprungliga reella Lie-gruppen, medan den positiva delen är exponentialen av en imaginär multipel av den infinitesimala operatorn som motsvarar ett element i den maximala könen. En liknande nedbrytning sker redan i halvgruppen.

Oscillatorsemigruppen av Roger Howe rör det speciella fallet med denna teori för den verkliga symplektiska gruppen . Historiskt har detta varit en av de viktigaste tillämpningarna och har generaliserats till oändliga dimensioner. Den här artikeln behandlar i detalj exemplet med den invarianta konvexa konen för den symplektiska gruppen och dess användning i studien av den symplektiska Olshanskii-halvgruppen.

Invariant konvex kon i symplektisk Lie-algebra

Lie-algebra för den symplektiska gruppen på R ^{2 n} har en unik invariant konvex kon. Den är självdual. Konen och dess egenskaper kan härledas direkt med hjälp av beskrivningen av den symplektiska Lie-algebra som tillhandahålls av Weyl-kalkylen i kvantmekanik . Låt variablerna i R ^{2 n} vara x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n . Om man tar den inre standardprodukten på R2n ^{, motsvarar} den symboliska formen matrisen

\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}.}

De reella polynomen på R ^{2 n} bildar en oändligt dimensionell Lie-algebra under Poisson-parentesen

\displaystyle {\{f,g\}=\summa _{i}{\partial f \over \partial x_{i}}{\partial g \over \partial y_{i}}-{\partial f \over \partial y_{i}}{\partial g \over \partial x_{i}}.}

Polynomen med grad ≤ 2 bildar en ändlig dimensionell Lie-algebra med centrera de konstanta polynomen. De homogena polynomen av grad 2 bildar en Lie-subalgebra som är isomorf till den symplektiska Lie-algebra. Den symplektiska gruppen verkar naturligt på denna subalgebra genom reparametrisering och detta ger den adjoint representation . Homogena polynom av grad 2 å andra sidan är bara symmetriska bilinjära former på R _{2 n} . De motsvarar därför symmetriska 2 n × 2 n matriser. Killing -formen på Lie-algebra är proportionell mot spårformen Tr AB . De positiva definitiva symmetriska bilinjära formerna ger en öppen invariant konvex kon med stängning uppsättningen P av positiva halvdefinita symmetriska bilinjära former. Eftersom Killing-formen är spårformen, är konen P självdual.

symmetrisk bilinjär form definierar en ny inre produkt ^{på .} R2n Symplektiken från definierar en inverterbar skew-adjoint operator T med avseende på denna inre produkt med – T ² en positiv operator. En ortonormal bas kan väljas så att T har 2 × 2 skevsymmetriska matriser nedåt diagonalen. Om ^{man skalar den ortonormala basen, följer det} att det finns en symplektisk grund för att R2n diagonaliserar den ursprungliga positiva symmetriska bilinjära formen. Således ligger varje positiv symmetrisk bilinjär form i omloppsbanan för en diagonal form under den symplektiska gruppen.

Om C är någon annan invariant konvex kon så är den invariant under den slutna undergruppen U av den symplektiska gruppen som består av ortogonala transformationer som pendlar med J . Identifiering av R ^{2 n} med det komplexa inre produktutrymmet C ⁿ med användning av den komplexa strukturen J , U kan identifieras med U ( n ). Ta valfri punkt som inte är noll i C . medelvärdet över U med avseende på Haar-måttet ligger i C och är icke-noll. Den motsvarande kvadratiska formen är en multipel av standardinre produkten. Genom att ersätta C med – C kan denna multipel anses vara positiv. Det finns en kopia av SL(2, R ) i den symboliska gruppen som endast verkar på variablerna x _i och y _i . Dessa operatorer kan användas för att transformera $(x i) 2 + (y i) 2$ till $t (x i) 2 + (2 - t)(y i) 2$ med 0 < t < 2. Det följer att C innehåller punkten $(x 1) 2 + (y 2) 2 + ... + (y n) 2$ . Om man använder diagonalskalningsoperatorer i de andra och efterföljande kopiorna av SL(2, R ), måste konen C innehålla den kvadratiska formen $(x 1) 2$ . Genom invarians C även innehålla kvadratformerna $(x i) 2$ och $(y i) 2$ . Genom konvexitet innehåller den alla diagonala positiva symmetriska bilinjära former. Eftersom varje positiv symmetrisk bilinjär form är i omloppsbanan av en diagonal form, C konen av icke-negativa symmetriska bilinjära former. Genom dualitet ingår den dubbla konen C * i P . Om C är en riktig kon visar det föregående argumentet att C * = P och därmed att C = P .

Detta argument visar att varje positiv bestämd symmetrisk form är i omloppsbanan av en form med motsvarande kvadratisk form

\displaystyle {Q(x,y)=\summa a_{i}(x_{i}^{2}+y_ {i}^{2}),}

med ett _i > 0. Detta motsvarar en kon i Lie-algebra för den (diagonala) maximala torusen av U .

Eftersom varje element i P är diagonaliserbart, finns stabilisatorn för ett positivt element i den symplektiska gruppen i ett konjugat av U . Å andra sidan, om K är en annan kompakt undergrupp av den symplektiska gruppen, visar ett medelvärde över Haar-måttet att det lämnar invariant ett positivt element av P . Sålunda ingår K i ett konjugat av U . Det följer att U är en maximal kompakt undergrupp av den symplektiska gruppen och att vilken annan sådan undergrupp som helst måste vara ett konjugat av U .

Nedbrytning i symplektisk Olshanski-semigrupp

Den komplexa symplektiska gruppen verkar genom Möbius-transformationer på X , de komplexa symmetriska matriserna med operatornorm mindre än eller lika med en. Representerar ett element som en 2 × 2 blockmatris ${\displaystyle h={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} ,$ åtgärden ges av

\displaystyle {h(z)=(az+b)(cz+d)^{-1}.}

Det finns en period 2 automorfism σ av den komplexa symplektiska gruppen med fixpunktsundergrupp den verkliga symplektiska gruppen. Då x ⁺ = σ(x)^{-1} en antiautomorfism av H som inducerar inversen på den verkliga symplektiska gruppen G . Om g är i den öppna Olshanski-semigruppen H , låt h = g ⁺ g . Genom Brouwers fixpunktssats applicerad på den kompakta konvexa mängden X har g en fixpunkt i X . Eftersom g bär X in i sitt inre är den fasta punkten en inre punkt. Eftersom G agerar transitivt på det inre av X , eftermultiplicerar med ett element av G vid behov, kan det antas att h fixerar 0. Eftersom h ⁺ = h följer att b = c = 0. Konjugering med ett element i K ⊂ SU(1,1), a och d kan diagonaliseras. Den har positiva egenvärden, så det finns en unik positiv diagonaloperator h ₁ med kvadrat h . Genom unikhet ( h ₁ ) ⁺ = h ₁ . Eftersom h ₁ är diagonal visar teorin för SU(1,1) och SL(2, C ) som verkar på enhetsskivan i C att h ₁ ligger i exp C . Å andra sidan uppfyller k = g ( h ₁ ) ⁻¹ k ⁺ k = 1 så att σ( k ) = k . K ligger alltså i G och därför medger H sönderdelningen med invariansen av C

\displaystyle {H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}

Faktum är att det finns en liknande nedbrytning för den slutna Olshanski symplektiska halvgruppen:

\displaystyle {{\overline {H}}=G\cdot \exp({\overline {C}})=\exp({\overline {C}})\cdot G.}

Dessutom är kartan ( g , x ) ↦ g exp x en homeomorfism.

X är i C är det faktiskt diagonaliserbart med verkliga egenvärden. Så att exp X har strikt positiva egenvärden. Genom kontinuitet om X är i slutet av C , har det reella egenvärden och exp X har strikt positiva egenvärden. Varje inverterbar operator som är en gräns för sådant exp X kommer också att ha strikt positiva egenvärden. Genom den holomorfa funktionella kalkylen definierar den exponentiella kartan på utrymmet för operatorer med verkligt spektrum en homeomorfism på utrymmet för operatorer med strikt positivt spektrum, med en analytisk invers given av logaritmen. Det följer att $\exp {\overline {C}}$ är stängd i den komplexa symplektiska gruppen.

Om g _n exp X _n tenderar till h , så tenderar exp 2 X _n till h ⁺ h . Eftersom $\exp {\overline {C}}$ är stängd, är h ⁺ h = exp 2 X för något X och därför ligger h exp – X i G . Så stängningen av $G\exp {\overline {C}}$ stängs och sammanfaller med ${\overline {H}}$ . På liknande sätt om g _n exp X _n tenderar att g exp X , så tenderar exp 2 X _{n att exp 2} X . Därför tenderar X _{n till} X . Men då tenderar exp X _{n att exp} X , så att g _n tenderar till g .

₀₀ Användningen av Brouwers fixpunktsats kan undvikas genom att tillämpa mer direkta fixpunktssatser för holomorfa avbildningar, såsom Earle– Hamilton fixpunktssats och dess varianter. Faktum är att en Möbius-transformation f tar { z : || z || < 1, z ^t = z } i en kompakt delmängd har en unik fixpunkt z med f ⁿ ( z ) → z för varje z .

Unikhet följer eftersom, om f har en fixpunkt, efter konjugering med ett element i den reella symplektiska gruppen, kan den antas vara 0. Då har f formen f ( z ) = az (1 + cz ) ⁻¹ a ^t , där c ^t = c , med iterationer f ^m ( z ) = a ^m z (1 + c _m z ) ⁻¹ ( a ^m ) ^t med c _m = c + a ^t ca + ⋅⋅⋅ + ( a ^{m − 1} ) ^t ca ^{m − 1} . Här a och c _m alla operatörsnorm mindre än en. Alltså för || z || ≤ r < 1, f ^m ( z ) tenderar till 0 jämnt, så att speciellt 0 är den unika fixpunkten och den erhålls genom att applicera iterater av f .

₀₀₀₀₀ Existensen av en fixpunkt för f följer genom att notera att är en ökande sekvens _nk så att f ^{n _k} och f ^{n _{2 k + 1} − n _{2 k}} är båda enhetligt konvergerande på compacta, till h respektive g . Detta följer eftersom verkliga symplektiska transformationer g _n kan väljas så att h _n = g _n ∘ f ⁿ fixerar 0, med en undersekvens av g _n s konvergent just när motsvarande undersekvens av f ⁿ (0) är konvergent. Eftersom transformationerna h _n kan skrivas som h _n ( z ) = a _n z (1 + b _n z ) ⁻¹ ( a _n ) ^t , kan konvergenta delsekvenser väljas. Genom konstruktion g ∘ h = h . Så punkter i bilden av h fixeras av g . Nu g och h antingen konstanta eller har formen az (1 + cz ) ⁻¹ a ^t följt av en reell symplektisk transformation. Eftersom bilden av h är sammankopplad och en icke-konstant karta bara har en fast punkt, är bilden av h en enda punkt z , fixerad med g . Eftersom g pendlar med f , är f ( z ) också fixerad med g och därmed f ( z )= z , så att z är en fixpunkt för f .

Maximalitet av symplektisk Olshanski-semigrupp

Den symplektiska gruppen verkar transitivt genom Möbius-transformationer på de komplexa symmetriska matriserna med operatornorm mindre än en. Den öppna Olshanski-semigruppen består av Möbius-transformationer i den komplexa symplektiska gruppen som tar de rymdkomplexa symmetriska matriserna med norm ≤ 1 till komplexa symmetriska matriser med norm < 1. Dess stängning är en maximal egentlig semigrupp i den komplexa symplektiska gruppen.

I två dimensioner följer detta av ett allmänt argument från Lawson (1998) som också gäller i en dimension. Låt G = SL(2, R ) verka genom Möbius-transformationer på den utsträckta reella linjen och låt H vara den öppna halvgruppen som består av transformationer som bär [–1,1] till (–1,1). Dess stängning ${\overline {H}}$ är den slutna halvgruppen av transformationer som bär in [–1,1] i sig själv. Maximaliteten för ${\overline {H}}$ bevisas genom att först visa att varje strikt större halvgrupp S innehåller ett element g sändande | t | < 1 till | t | > 1. Faktum är att om x är i S men inte i ${\displaystyle {\overline {H}}},$ så finns det ett intervall I ₁ i I = (–1,1) så att x I ₁ ligger i [–1,1] ^c . Sedan för några h i H , I ₁ = hI . På liknande sätt yxI ₁ = [–1,1] ^c för vissa y i H . Så g = yxh ligger i S och skickar I till [–1,1] ^c . Det följer att g ² fixar I , så att g ⁻¹ ligger i S . Om z ligger i H så innehåller z g I g I . Därför g ⁻¹ z ⁻¹ g i ${\overline {H}}$ . Så z ⁻¹ ligger i S och därför innehåller S en öppen grannskap på 1 . Följaktligen är S = SL(2, R ).

Maximalitet kan härledas för den Olshanski symplektiska semigruppen i SL(2, C ) från maximaliteten för denna semigrupp i SL(2, R ). Det räcker med att visa att den slutna semigruppen innehåller SL(2, R ), eftersom skalningstransformationerna ligger i det inre av den Olshanski symplektiska semigruppen. Så om deras inverser ligger i den symplektiska halvgruppen, innehåller den en grannskap av identiteten och därmed hela SL(2, C ). Om S är en halvgrupp som korrekt innehåller den symplektiska halvgruppen, innehåller den ett element som bär den slutna enhetsskivan utanför sig själv. För- och efterkomponering med element av SU(1,1) kan det antas att elementet g i S bär 0 till r > 1. Vid förkomponering med en skalningstransformation kan det antas att g bär den slutna enhetsskivan på en liten stadsdel r . Om man förkomponerar med ett element av SU(1,1), kan den omvända bilden av den reella axeln anses vara diametern som sammanfogar –1 och 1. Men i så fall måste g ligga i SL(2, R ). Från maximalitetsresultatet för semigrupper i SL(2, R ), måste S innehålla SL(2, R ) och måste därför vara hela SL(2, C ).

Autonne–Takagi-faktorisering anger att för varje komplex symmetrisk matris M finns det en enhetlig matris U så att UMU ^t är diagonal. Om S är en halvgrupp som korrekt innehåller stängningen av Olshanki-halvgruppen, så innehåller den ett element g så att z = g (0) med 1< || z || < ∞.

Det finns faktiskt en inbäddning på grund av Harish-Chandra av rymden av komplexa symmetriska n gånger n matriser som en tät öppen delmängd av de kompakta Grassmannian av Langrangian underrymden av C ^{2 n} . Dessutom är denna inbäddning ekvivariant för den verkliga symplektiska gruppens verkan. Faktum är att med den standardkomplexa inre produkten på C2n , har Grassmannian av n -dimensionella delrum en kontinuerlig transitiv verkan av SL( 2n , C ) och dess maximala kompakta undergrupp SU ^{) (} 2n . Det kan identifieras med utrymmet för ortogonala rang n projektioner, ett kompakt delrum av M _{2 n} ( C ). Om man tar koordinater ( z ₁ ,..., z _n , w ₁ ,..., w _n ) på C ^{2 n} ges den symboliska formen av

\displaystyle {B((z,w),(z^{\prime },w^{\prime }))=\summa z_{i}w_{i}^{\prime }-w_{i }z_{i}^{\prime }.}

₀₀ Ett n -dimensionellt delrum U kallas Lagrangian om B försvinner på U . De lagrangiska undergångarna bildar en sluten delmängd av den Grassmanniska på vilken den komplexa symplektiska gruppen och den enhetliga symplektiska gruppen verkar transitivt. Detta är den lagrangiska gräsmannen. Delrummet U som bildas av vektorer med z _i = 0 är lagrangiskt. Uppsättningen av langrangiska delrum U för vilka begränsningen av den ortogonala projektionen på U är en isomorfism bildar en öppen tät delmängd Ω av den lagrangska gräsmannen. Varje sådant delrum har en kanonisk bas vars kolumnvektorer bildar en 2 n gånger n matris ${\begin{pmatrix}Z\\I\end{pmatrix}}$ där Z är en komplex symmetrisk n gånger n matris och I är n till n identitetsmatrisen. Under denna överensstämmelse fungerar element i den komplexa symplektiska gruppen, sett som blockmatriser $g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$ som Möbius-transformationer, g ( Z ) = ( AZ + B )( CZ + D ) ⁻¹ . Enhetskulan för operatörsnormen och dess stängning lämnas invariant under motsvarande verkliga form av den symplektiska gruppen.

Om ett element g av den komplexa symplektiska gruppen inte ligger i stängningen av Olshanski-semigruppen, måste den bära någon punkt W av den öppna enhetsbollen in i komplementet till dess stängning. Om g ( W ) inte ligger i Ω så måste bilden av en liten boll om W innehålla punkter med i Ω med godtyckligt stor operatornorm. Genom att förkomponera g med ett lämpligt element i G , följer att Z = g (0) kommer att ha operatornorm större än 1. Om g ( W ) redan ligger i Ω kommer den också att ha operatornorm större än 1 och W kan vara då tas till 0 genom att förkomponera med ett lämpligt element av G .

Vid förkomponering av g med en skalomvandling och efterkomponering av g med en enhetlig transformation, kan det antas att g (0) är en diagonal matris med ingångar λ _i ≥ 0 med r = λ ₁ > 0 och att bilden av enhet bollen finns i en liten boll runt denna punkt. Posterna λ _i med i ≥ 2 kan skalas separat efter element i Olshanki-halvgruppen så att λ _i < 1; och sedan kan de skickas till 0 av element av G som ligger i pendlingskopior av SU(1,1). Så g (0) är en diagonal matris med poster r , 0,...,0, där r > 1.

Se även

Anteckningar

Folland, GB (1989), Harmonic analysis in phase space , Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Princeton University Press, ISBN 9780691085289
Hervé, M. (1987), Flera komplexa variabler. Lokal teori , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 1 (andra upplagan), Oxford University Press, ISBN 9780195618884
Hilgert, Joachim; Hofmann, Karl Heinrich; Lawson, Jimmie D. (1989), Lie groups, convex cones, and semigroups , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0-19-853569-4
Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann (1993), Lie semigroups and their applications , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1552, Springer-Verlag, ISBN 3540569545
Howe, R. (1988), "The Oscillator Semigroup" , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , American Mathematical Society, 48 : 61–132 , doi : 10.1090/pspum/048/974332 , ISB0808N 6178N 6178N 6178N2917
Kumaresan, S.; Ranjan, A. (1982), "On invariant convex cones in simple Lie algebras", Proc. Indian Acad. Sci. Matematik. Sci. , 91 (3): 167–182, doi : 10.1007/bf02881028 , S2CID 120478994
Lawson, JD (1994), "Maximal Ol'shanskiĭ semigroups" (PDF) , Journal of Lie Theory , 4 (1): 17–29, CiteSeerX 10.1.1.46.969
Lawson, JD (1998), "Semigroups in Möbius and Lorentzian geometry", Geom. Dedicata , 70 (2): 139–180, doi : 10.1023/A:1004906126006 , S2CID 116687780
Mok, Ngaiming (1989), Metric Rigidity Theorems on Hermitian Locally Symmetric Manifolds , World Scientific, ISBN 9971-5-0802-8
Olshanskii, GI (1981), "Invariant cones in Lie algebras, Lie semigroups and the holomorphic discrete series", Funct. Anal. Appl. , 15 (4): 275–285, doi : 10.1007/bf01106156 , S2CID 121254166
Paneitz, Stephen M. (1981), "Invarianta konvexa koner och kausalitet i semisimple Lie algebras and groups", J. Funct. Anal. , 43 (3): 313–359, doi : 10.1016/0022-1236(81)90021-5
Paneitz, Stephen M. (1983), "Bestämning av invarianta konvexa koner i enkla Lie-algebras", Ark. Mat. , 21 (1–2): 217–228, Bibcode : 1983ArM....21..217P , doi : 10.1007/bf02384311
Siegel, Carl Ludwig (1943), "Symplectic Geometry", American Journal of Mathematics , 65 (1): 1–86, doi : 10.2307/2371774 , JSTOR 2371774
Vinberg, EB (1980), "Invarianta konvexa koner och beställningar i Lie-grupper", Funktion. Anal. Appl. , 14 : 1–10, doi : 10.1007/BF01078407 , S2CID 124032779
Wolf, Joseph A. (1972), "Fine struktur av hermitiska symmetriska utrymmen", i Boothby, William; Weiss, Guido (red.), Symmetric spaces (Short Courses, Washington University) , Pure and Applied Mathematics, vol. 8, Dekker, s. 271–357, ISBN 0608305685