Initialiserad bråkräkning

Inom matematisk analys är initiering av differintegraler ett ämne i bråkräkning .

Sammansättningsregel för differintegral

En viss kontraintuitiv egenskap hos den differentierade operatören bör påpekas, nämligen ackordslagen . Fastän

\mathbb {D} ^{q}\mathbb {D} ^{-q}=\mathbb {I}

där D ^{− q} är den vänstra inversen av D ^q , det omvända är inte nödvändigtvis sant:

\mathbb {D} ^{-q}\mathbb {D} ^{q}\neq \mathbb {I}

Exempel

Det är lärorikt att överväga elementär heltalsordningskalkyl för att se vad som händer . Integrera först och sedan differentiera med hjälp av exempelfunktionen 3 x ² + 1:

{\frac {d}{dx}}\left[ \int (3x^{2}+1)dx\right]={\frac {d}{dx}}[x^{3}+x+c]=3x^{2}+1\,,

om att byta sammansättningsordning:

\int \left[{\frac {d}{dx}}(3x^{2} +1)\right]=\int 6x\,dx=3x^{2}+c\,,

där integrationskonstanten är c . Även om det inte var uppenbart, kan initialiseringstermerna ƒ '(0) = c , ƒ ''(0) = d , etc. användas. Om vi försummade dessa initialiseringstermer skulle den sista ekvationen visa integrationens sammansättning, då skulle differentiering (och vice versa) inte hålla.

Beskrivning av initiering

Detta är problemet att med differensintegralen. Om differintegralen initieras ordentligt, så gäller den efterlängtade kompositionslagen. Problemet är att vid differentiering förlorar vi information, eftersom vi förlorade c:et i den första ekvationen.

I bråkräkning, men eftersom operatorn har fraktionerats och därmed är kontinuerlig, behövs en hel komplementär funktion , inte bara en konstant eller uppsättning konstanter. Vi kallar denna komplementära funktion $\Psi$ .

\mathbb {D } _{t}^{q}f(t)={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{ 0}^{t}(t-\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau +\Psi (x)

Att arbeta med en korrekt initierad differintegral är föremål för initierad bråkräkning.

Se även

Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2000), Initialiserad bråkräkning (PDF) , NASA (teknisk rapport).