Icke-expanderande horisont

En icke-expanderande horisont ( NEH ) är en sluten nollyta vars inneboende struktur bevaras. En NEH är den geometriska prototypen av en isolerad horisont som beskriver ett svart hål i jämvikt med dess yttre ur det kvasilokala perspektivet. Det är baserat på NEHs koncept och geometri som de två kvasilokala definitionerna av svarta hål, svagt isolerade horisonter och isolerade horisonter, utvecklas.

Definition av NEH

En tredimensionell delgren ∆ definieras som en generisk (roterande och förvrängd) NEH om den respekterar följande villkor:

(i) ∆ är noll och topologiskt $S^{2}\times \mathbb {R}$ ; (ii) Längs alla nollnormala fält $l$ som tangerar ∆, den utgående expansionshastigheten $\displaystyle \theta _{(l)} :={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}$ försvinner; (iii) Alla fältekvationer håller på ∆, och spännings-energitensorn $T_{ab}$ på ∆ är sådan att $V^{a} :=-T_{b}^{a}l^{b}$ är en framtidsriktad kausalvektor ( $V^{a}V_{a}\leq 0$ ) för alla framtida -directed null normal $l^{a}$ .

Villkor (i) är ganska trivialt och anger bara det allmänna faktum att från ett 3+1-perspektiv är en NEH ∆ folierad av rymdliknande 2-sfärer ∆'=S ² , där S ² understryker att ∆' är topologiskt kompakt med släktet noll ( $g=0$ ). Signaturen för ∆ är (0,+,+) med en degenererad tidskoordinat, och den inneboende geometrin för ett bladblad ∆'=S 2 ^är icke-evolutionell. Egenskapen $\theta _{(l)}=0$ i villkor (ii) spelar en avgörande roll för att definiera NEH och de rika implikationerna som kodas däri kommer att diskuteras utförligt nedan. Villkor (iii) gör att man känner sig fri att tillämpa Newman–Penrose (NP) formalismen i Einstein-Maxwells fältekvationer på horisonten och dess närhet nära horisonten; dessutom är själva energiojämlikheten motiverad från det dominerande energitillståndet och är ett tillräckligt villkor för att härleda många randvillkor för NEH.

Obs : I den här artikeln, enligt konventionen som ställts upp i refs., betyder "hatt" över likhetssymbolen ${\hat {=}}$ jämlikhet på svarthålshorisonten (NEHs), och "hatt " över kvantiteter och operatorer ( ${\hat {h}}^{ab}$ , ${\displaystyle {\hat {\nabla }}},$ etc.) anger de på ett bladblad av horisonten. Dessutom är ∆ standardsymbolen för både en NEH och riktningsderivatan ∆ $:=n^{a}\nabla _{a}$ i NP-formalism, och vi tror att detta inte kommer orsaka en oklarhet.

Gränsvillkor som antyds av definitionen

$\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1,m^{a}{ \bar {m}}_{a}=1\}$ NP-formalismens språk med konventionen (Obs: till skillnad från den ursprungliga konventionen ${ \displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}} ,$ detta är den vanliga som används för att studera fångade nollytor och kvasilokala definitioner av svarta hål). Eftersom ${\displaystyle l^{a}} är$ en nollnormal till ∆ ${\displaystyle \kappa :=-m^{a}l ^{b}\nabla _{b}l_{a}\,{\hat {=}}\,0} , och vridfritt$ automatiskt geodetisk , , ${\text{Im}}(\rho )={\text{Im}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{ a})\,{\hat {=}}\,0$ . För en NEH försvinner den utgående expansionshastigheten $\theta _{(l)}$ längs ${\displaystyle l^{a}} ,$$\theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0$ , och följaktligen ${\text{Re}}(\rho )={\text{Re}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a} )=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0$ . Dessutom, enligt Raychaudhuri-NP expansion-twist- ekvationen,

$(1)\qquad D\rho =\rho ^{2}+\sigma {\bar { \sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,$

det följer att på ∆

$(2)\qquad \sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,$

där $\sigma :=-m^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}$ är NP-skjuvkoefficienten. På grund av det antagna energitillståndet (iii) har vi ${\ displaystyle R_{ab}l^{a}l^{b}=R_{ab}l^{a}l^{b}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}l^{a} l^{b}=8\pi \,T_{ab}l^{a}l^{b}}$ ( $c=G=1$ ), och därför $R_{ab}l^{a}l^{b}$ är icke-negativ på ∆. Produkten $\sigma {\bar {\sigma }}$ är naturligtvis också icke-negativ. Följaktligen $\sigma {\bar {\sigma }}$ och $R_{ab}l^{a}l^{b}$ samtidigt vara noll på ∆, dvs $\sigma \,{\hat {=}}\,0$ och $R_{ab}l^{a}l^{b }\,{\hat {=}}\,0$ . Som en sammanfattning,

$(3)\qquad \kappa \,{\ hatt {=}}\,0\,,\quad {\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Re}}(\ rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \sigma \,{\hat {=}}\,0\,,\quad R_{ab}l^{a}l^{ b}\,{\hat {=}}\,0.$

Således är den isolerade horisonten ∆ icke-evolutionell och alla bladblad ∆'=S ² ser identiska ut med varandra. Relationen $R_{ab}l^{a}l^{b }=8\pi \cdot T_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{b}^{a}l^{b}\cdot l_{a}\,{\ hat {=}}\,0$ antyder att kausalvektorn $-T_{b}^{a}l^{b}$ i villkor (iii) är proportionell mot ${\ displaystyle l^{a}}$ och $R_{ab}l^{b}$ är proportionell mot $l_{a}$ vid horisonten ∆; det vill säga $-T_{b}^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl^{a}$ och ${\displaystyle R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}} ,$ c $\displaystyle c\in \mathbb { R} }$ . Genom att tillämpa detta resultat på de relaterade Ricci-NP-skalärerna får vi $\Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}l^ {b}\,{\hat {=}}\,0$ och ${\displaystyle \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,{\hat {= }}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}m^{b}\,{\hat {=}}\,0},$ alltså

$(4)\qquad R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}\,,\quad \Phi _{00}\,{\hat {= }}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Försvinnandet av Ricci-NP-skalärer $\{\Phi _{00}\,,\Phi _{01}\,,\Phi _{10}\}$ betyder att det inte finns något energi-momentumflöde av någon form av laddning över horisonten, såsom elektromagnetiska vågor , Yang-Mills- flöde eller dilatonflöde . Dessutom bör det inte finnas några gravitationsvågor som korsar horisonten; gravitationsvågor är emellertid fortplantning av störningar i rumtidskontinuumet snarare än flöden av laddningar, och avbildas därför av fyra Weyl-NP-skalärer $\Psi _{i}\; (i=0,1,3,4)$ (exklusive $\Psi _{2}$ ) snarare än Ricci-NP-kvantiteter $\Phi _{ij}$ . Enligt Raychaudhuri-NP - skjuvningsekvationen

$(5)\qquad D\sigma =\sigma (\rho +{\bar {\rho }})+\Psi _{0}=-2\sigma \theta _{(l)}+\Psi _{0}\,,$

eller NP-fältekvationen vid horisonten

$(6) \qquad D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\ stapel {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,$

det följer att $\Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c }m^{d}\,{\hat {=}}\,0$ . Dessutom NP-ekvationen

$(7)\qquad \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta)-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{ 01}\,{\hat {=}}\,0$

innebär att $\Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c }m^{d}\,{\hat {=}}\,0$ . Sammanfattningsvis har vi

$(8)\qquad \Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\ ,{\hat {=}}\,0\,,$

vilket betyder att, geometriskt, en principiell nollriktning för Weyls tensor upprepas två gånger och $l^{a}$ är inriktad med huvudriktningen; fysiskt kommer inga gravitationsvågor (tvärkomponent $\Psi _{0}$ och longitudinell komponent ${\displaystyle \Psi _{1}})$ in i det svarta hålet. Detta resultat överensstämmer med det fysiska scenariot som definierar NEH.

Anmärkningar: Spinkoefficienter relaterade till Raychaudhuris ekvation

För en bättre förståelse av det föregående avsnittet kommer vi kortfattat att granska betydelsen av relevanta NP-spinkoefficienter för att visa nollkongruenser . Tensorformen av Raychaudhuris ekvation som styr nollflöden lyder

$(9)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(l)}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l) }^{2}+{\tilde {\kappa}}_{(l)}\theta _{(l)}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }} _{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,$

där ${\tilde {\kappa }}_{(l)}$ definieras så att ${\tilde { \kappa }}_{(l)}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ . Storheterna i Raychaudhuris ekvation är relaterade till spinkoefficienterna via

$(10)\qquad \theta _ {(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,$

${ \displaystyle (11)\qquad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{ a}m_{b}\,,}$

$(12)\qquad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho - {\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b }{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{ a}m_{b}{\Big )}\,,$

där Eq(10) följer direkt av ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m ^{a}$ och

$(13)\qquad \theta _{(l)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_ {b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _ {a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{ \bar {\rho }})\,,$

$(14)\qquad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b} m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}} ^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.$

Dessutom är en nollkongruens hyperytortogonal om ${\text{Im}}(\rho )=0$ .

Restriktioner från elektromagnetiska fält

Vakuum NEHs på vilka $\{\Phi _{ij}{\hat {=}}0\,,\Lambda _{}{\hat {=}}0 \}$ är de enklaste typerna av NEH, men i allmänhet kan det finnas olika fysiskt meningsfulla fält kring en NEH, bland vilka vi mest är intresserade av elektrovakuumfält med $\Lambda {\hat {=}}0$ . Detta är den enklaste förlängningen av vakuum-NEH, och den icke-försvinnande energistresstensorn för elektromagnetiska fält läser

$(15)\qquad T_{ab}={\frac {1} {4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd }{\Big )}\,,$

där $F_{ab}$ hänvisar till den antisymmetriska ( $F_{ab}=-F_{ba}$ , $F_{a }^{a}=0$ ) elektromagnetisk fältstyrka och $T_{ab}$ är spårfri ( $T_{a}^{a}=0$ ) av definition och respekterar det dominerande energitillståndet. (Man bör vara försiktig med antisymmetrin hos $F_{ab}$ när man definierar Maxwell-NP-skalärer ${\displaystyle \phi _{i}} )$ .

De gränsvillkor som härleds i föregående avsnitt är tillämpliga på generiska NEH. I det elektromagnetiska fallet $\Phi _{ij}$ specificeras på ett mer speciellt sätt. Genom Einstein-Maxwells ekvationers NP-formalism har man

$(16)\qquad \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i }\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad i,j\in \{0,1,2\}\,,$

där $\phi _{i}$ betecknar de tre Maxwell-NP-skalärerna. Som ett alternativ till Eq() kan vi se att villkoret $\Phi _{00}=0$ också härrör från NP-ekvationen

$\ display 17)\qquad D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon } })\rho -{\bar {\kappa }}\tau -(3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,\kappa +\Phi _{00}\,{\hat { =}}\,0\,}$

som $\kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\, \sigma =0$ , så

$(18)\qquad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Leftrightarrow \;\;2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Högerpil \;\;\phi _{0}={\overline {\phi _{0}}} \,{\hat {=}}\,0\,.$

Det följer direkt att

$(19)\qquad \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{1 }}}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0 }\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Dessa resultat visar att det inte finns några elektromagnetiska vågor över ( $\Phi _{00}$ , $\Phi _{01}$ ) eller längs (\Phi_{02}) NEH förutom nollgeodesiken som genererar horisonten. Det är också värt att påpeka att den kompletterande ekvationen $\Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _ {j}}}$ i Eq() är endast giltig för elektromagnetiska fält; till exempel, i fallet med Yang–Mills-fält kommer det att finnas ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,{\big (}\,\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j}\,{\big )}} där ϝ i (i$ ∈ $_ {i}(i\in \{0,1,2\}}$ är Yang–Mills-NP-skalärer.

Anpassad tetrad på NEH och ytterligare egenskaper

Vanligtvis används nolltetrader anpassade till rumtidsegenskaper för att uppnå de mest koncisa NP-beskrivningarna. Till exempel kan en nolltetrad anpassas till huvudsakliga nollriktningar när väl Petrov-typen är känd; Vid vissa typiska gränsområden såsom noll oändlighet, tidsliknande oändlighet, rymdlik oändlighet, svarta håls horisonter och kosmologiska horisonter , kan tetrads anpassas till gränsstrukturer. På liknande sätt används en föredragen tetrad anpassad till geometriska beteenden på horisonten i litteraturen för att ytterligare undersöka NEH.

Som indikeras från 3+1-perspektivet från villkor (i) i definitionen, folieras en NEH ∆ av rymdliknande hyperytor ∆'=S 2 ^tvärs dess nollnormal längs en ingående nollkoordinat $v$ , där vi följer standardnotationen för ingående Eddington–Finkelstein nollkoordinater och använd $v$ för att märka de 2-dimensionella bladen $S_{v}^{2}$ vid $v={ \text{konstant}}$ ; det vill säga ${}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}] =S^{2}[v_{o},v_{1}]$ . $v$ är inställd på att vara framtidsriktad och välj den första tetrad-kovektom $n_{a}$ som $n_{a}=-dv$ , och sedan det kommer att finnas ett unikt vektorfält $l^{a}$ som nollnormaler till $S_{v}^{2}$ som uppfyller korsnormaliseringen ${ \displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$ och affin parametrisering $Dv=1$ ; ett sådant val av $\{l^{a},n^{a}\}$ skulle faktiskt ge en föredragen foliation av ∆. Medan $\{l^{a}\,,n^{a}\}$ är relaterade till de yttre egenskaperna och nollgeneratorerna (dvs. nollflöden/geodesisk kongruens på ∆), återstående två komplexa nollvektorer $\{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ ska spänna över den inneboende geometrin hos ett bladblad $S_{v}^{2}$ , tangent till ∆ och tvärs mot $\{l^{a}\,,n^{a}\}$ ; det vill säga ${\mathcal {L}}_{\ell }m\,{\hat {=}}\,{\mathcal {L}}_{ \ell }{\bar {m}}{\hat {=}}0$ .

Låt oss nu kolla konsekvenserna av denna typ av anpassad tetrad. Eftersom

$(20)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }m=[\ell ,m]\,{\hat {=}}\,0\;\Rightarrow \;\delta DD\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa _{}\Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\ bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,{\hat {=}}\,0\,,$

med $\kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma \,{\hat { =}}\,0$ , vi har

$(21)\qquad \pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\, {\bar {\varepsilon }}\,.$

Dessutom, i en sådan anpassad ram, är derivatan ${\mathcal {L}}_{\bar {m}}m$ på ${}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]$ bör vara rent inneboende; alltså i kommutatorn

$(22)\qquad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m=[{\bar {m}},m]={\bar {\delta } }\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta -({\bar { \beta }}-\alpha )\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,$

koefficienterna för riktningsderivatorna $D$ och ∆ måste vara noll, dvs.

$(23)\qquad {\bar {\mu }}\, {\hat {=}}\,\mu \,,\quad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m\,{\hat {=}}\,(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,$

så det ingående nollnormalfältet $n^{a}$ är vridfritt av ${\text{Im}} (\mu )={\text{Im}}({\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a})=0$ och ${\displaystyle 2\mu =2{\text{Re}}(\mu )} är$ lika med den ingående expansionshastigheten $\theta _{(n)}$ .

Diskussion

Hittills har definitionen och gränsvillkoren för NEH införts. Gränsvillkoren inkluderar de för en godtycklig NEH, specifika egenskaper för Einstein-Maxwell (elektromagnetiska) NEH, såväl som ytterligare egenskaper i en anpassad tetrad. Baserat på NEHs kan WIHs som har giltig ytgravitation definieras för att generalisera det svarta hålets mekanik. WIHs är tillräckliga för att studera fysiken vid horisonten, men för geometriska syften kan starkare begränsningar införas för WIHs för att introducera IHs, där ekvivalensklassen för nollnormaler [ ℓ ] {\ $ell ]}$ helt bevarar inducerad anslutning ${\mathcal {D}}$ vid horisonten.