Isolerad horisont

Det var brukligt att representera svarta håls horisonter via stationära lösningar av fältekvationer, dvs lösningar som tillåter ett tidstranslationellt dödande vektorfält överallt, inte bara i ett litet område av det svarta hålet. Även om denna enkla idealisering var naturlig som utgångspunkt, är den alltför restriktiv. Fysiskt borde det vara tillräckligt att införa gränsvillkor vid horisonten som endast säkerställer att själva det svarta hålet är isolerat. Det vill säga, det borde räcka att endast kräva att horisontens inneboende geometri är tidsoberoende, medan geometrin utanför kan vara dynamisk och tillåta gravitations- och annan strålning.

En fördel med isolerade horisonter framför händelsehorisonter är att även om man behöver hela rymdtidshistoriken för att lokalisera en händelsehorisont, definieras isolerade horisonter endast med hjälp av lokala rumtidsstrukturer. Lagarna för svarthålsmekanik , som ursprungligen bevisades för händelsehorisonter, är generaliserade till isolerade horisonter.

En isolerad horisont $(\Delta \,,[\ell ])$ hänvisar till den kvasilokala definitionen av ett svart hål som är i jämvikt med dess yttre, och både de inneboende och yttre strukturerna av en isolerad horisont (IH) bevaras av nollekvivalensklassen [ $\displaystyle [\ell ]}$ . Konceptet med IHs är utvecklat utifrån idéerna om icke-expanderande horisonter (NEHs) och svagt isolerade horisonter (WIHs): En NEH är en nollyta vars inneboende struktur bevaras och utgör den geometriska prototypen av WIHs och IHs, medan en WIHs. är en NEH med en väldefinierad ytgravitation och baserat på vilken svarthålsmekaniken kan kvasilokalt generaliseras.

Definition av IHs

En tredimensionell undergren $\Delta$ utrustad med en ekvivalensklass $[\ell ]$ definieras som en IH om den respekterar följande villkor:

(i) $\Delta$ är noll och topologiskt $S^{2}\times \mathbb {R}$ ; (ii) Längs alla nollnormala fält $l$ som tangerar $\Delta$ , den utgående expansionshastigheten ${\displaystyle \displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}} försvinner$ ; (iii) Alla fältekvationer håller på $\Delta$ , och spännings-energitensorn $T_{ab}$ på $\Delta$ är sådan att ${\displaystyle V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}} är$ en framtidsriktad kausalvektor ( $V^{a} V_{a}\leq 0$ ) för alla framtidsriktade nollnormal $l^{a}$ . (iv) Kommutatorn ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{\ell },{\mathcal {D}}_{a}]=0} ,$ där ${\mathcal {D}}_{a}$ betecknar den inducerade anslutningen vid horisonten.

Obs: Enligt konventionen som ställts upp i refs. betyder "hatt" över likhetssymbolen ${\hat {=}}$ jämlikhet på svarthålshorisonten (NEHs), och "hatt" över kvantiteter och operatorer ( ${\hat {h}}^{ab}$ , ${\displaystyle {\hat {\nabla }}},$ etc.) anger de vid horisonten eller på ett lövblad av horisonten (detta gör ingen skillnad för IHs).

IHs gränsvillkor

Egenskaperna hos en generisk IH manifesterar sig som en uppsättning gränsvillkor uttryckta på Newman-Penrose-formalismens språk ,

$\kappa \,{\hat {=}}\,0$ ( geodetisk ), ${\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0$ ( vridningsfri , hyperytortogonal), ${\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0$ ( expansion -fri), $\sigma \,{\hat {=}}\,0$ ( skjuvningsfri ),

$\Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline { \Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0$ (inget flöde av någon typ av materia laddar över horisonten),

$\Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\ ,0$ (inga gravitationsvågor över horisonten).

Dessutom, för en elektromagnetisk IH,

$\phi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\ ,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Dessutom har vi i en tetrad anpassad till IH-strukturen

$\pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\ varepsilon }}\,,\quad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,.$

Anmärkning: Faktum är att dessa gränsvillkor för IHs bara ärver de för NEHs .

Förlängning av den horisontanpassade tetraden

Fullständig analys av geometrin och mekaniken hos en IH bygger på den horisontella anpassade tetraden. En mer heltäckande bild av IHs kräver dock ofta undersökning av området nära horisonten och utanför horisonten. Den anpassade tetraden på en IH kan smidigt utökas till följande form som täcker både horisonten och utanför horisonten,

$l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r }+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,,$ $n^{a}\partial _{ a}=-\partial _{r}\,,$ $m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,,$ ${\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,.$

där $\{y,z\}$ är antingen verkliga isotermiska koordinater eller komplexa stereografiska koordinater som betecknar tvärsnitten av { v=konstant, r=konstant}, och mätvillkoren i denna tetrad är $\nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\, .$

Ansökningar

Den lokala karaktären hos definitionen av en isolerad horisont gör det mer praktiskt för numeriska studier.

Den lokala naturen gör Hamiltons beskrivning genomförbar. Detta ramverk erbjuder en naturlig utgångspunkt för icke-perturbativ kvantisering och härledning av svarta hålsentropi från mikroskopiska frihetsgrader.

Se även