Elektrovakuumlösning

Generellt sett är en elektrovakuumlösning ( elektrovakuum ) en exakt lösning av Einsteins fältekvation där den enda icke-gravitationella massenergin som finns närvarande är fältenergin från ett elektromagnetiskt fält , som måste tillfredsställa den (krökta rumtiden) källfria Maxwell ekvationer som är lämpliga för den givna geometrin. Av denna anledning kallas elektrovakuum ibland (källfria) Einstein-Maxwell-lösningar .

Definition

I allmän relativitetsteori är den geometriska inställningen för fysiska fenomen ett Lorentzian manifold , som tolkas som en krökt rumtid, och som specificeras genom att definiera en metrisk tensor ${\displaystyle g_{ab}} ($ eller genom att definiera ett ramfält ). Riemann- kurvaturtensorn $R_{abcd}$ för denna mångfald och associerade storheter såsom Einstein-tensorn ${\displaystyle G^{ab}} ,$ är väldefinierade. I allmän relativitetsteori kan de tolkas som geometriska manifestationer (krökning och krafter) av gravitationsfältet .

Vi behöver också specificera ett elektromagnetiskt fält genom att definiera en elektromagnetisk fälttensor $F_{ab}$ på vårt Lorentziska grenrör. För att klassificeras som en elektrovakuumlösning krävs att dessa två tensorer uppfyller två följande villkor

Den elektromagnetiska fälttensorn måste uppfylla de källfria krökta rumtids-Maxwell-fältekvationerna $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ och ${F^{jb}}_{;j}=0$
Einstein-tensorn måste matcha den elektromagnetiska spännings-energitensorn , $G^{ab}=2\,\ vänster(F^{a}{}_{j}F^{bj}-{\frac {1}{4}}g^{ab}\,F^{mn}\,F_{mn}\right)$ .

Den första Maxwell-ekvationen uppfylls automatiskt om vi definierar fälttensorn i termer av en elektromagnetisk potentialvektor ${\vec {A}}$ . När det gäller den dubbla kovektom (eller potentialen en-form ) och den elektromagnetiska två-formen , kan vi göra detta genom att sätta $F=dA$ . Då behöver vi bara se till att divergenserna försvinner (dvs att den andra Maxwell-ekvationen är uppfylld för ett källfritt fält) och att den elektromagnetiska spänningsenergin matchar Einstein-tensorn.

Invarianter

Den elektromagnetiska fälttensoren är antisymmetrisk, med endast två algebraiskt oberoende skalära invarianter,

I=\star (F\wedge \star F)=F_{ ab}\,F^{ab}=-2\,\left(\|{\vec {E}}\|^{2}-\|{\vec {B}}\|^{2}\right )

J=\star (F\wedge F)=F_{ab}\,{\star F }^{ab}=-4\,{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}

Här är stjärnan Hodge-stjärnan .

Med hjälp av dessa kan vi klassificera de möjliga elektromagnetiska fälten enligt följande:

Om $I<0$ men $J=0$ har vi ett elektrostatiskt fält , vilket betyder att vissa observatörer kommer att mäta ett statiskt elektriskt fält, och inget magnetfält.
Om $I>0$ men $J=0$ har vi ett magnetostatiskt fält , vilket betyder att vissa observatörer kommer att mäta ett statiskt magnetfält, och inget elektriskt fält.
Om $I=J=0$ sägs det elektromagnetiska fältet vara noll och vi har ett noll elektrovakuum .

Noll elektrovakuum är förknippat med elektromagnetisk strålning. Ett elektromagnetiskt fält som inte är noll kallas icke-null , och då har vi ett icke-null elektrovakuum .

Einstein tensor

Komponenterna i en tensor som beräknas med avseende på ett ramfält snarare än koordinatbasen kallas ofta fysiska komponenter , eftersom dessa är de komponenter som (i princip) kan mätas av en observatör.

Vid elektrovakuumlösning en anpassad ram

{\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e }}_{2},\;{\vec {e}}_{3}

kan alltid hittas där Einstein-tensorn har ett särskilt enkelt utseende. Här förstås den första vektorn vara ett tidsliknande enhetsvektorfält; detta är överallt tangent till världslinjerna för motsvarande familj av anpassade observatörer , vars rörelse är "inriktad" med det elektromagnetiska fältet. De tre sista är rymdliknande enhetsvektorfält.

För ett icke-null elektrovakuum kan en anpassad ram hittas där Einstein-tensorn tar formen

G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\ start{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right]

där $\epsilon$ är energitätheten för det elektromagnetiska fältet, mätt av en anpassad observatör. Från detta uttryck är det lätt att se att isotropigruppen i vårt icke-nullelektrovakuum genereras av förstärkningar i riktningen ${\vec {e}}_{3}$ och rotationer kring ${\vec {e}}_{3}$ axel. Med andra ord är isotropigruppen för ett icke-noll elektrovakuum en tvådimensionell abelsk Lie-grupp som är isomorf till SO(1,1) x SO(2).

För ett nollelektrovakuum kan en anpassad ram hittas där Einstein-tensorn tar formen

G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{ \begin{matrix}1&0&0&\pm 1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\pm 1&0&0&1\end{matrix}}\right]

Av detta är det lätt att se att isotropigruppen i vårt nollelektrovakuum inkluderar rotationer kring ${\vec {e}}_{3}$ -axeln; ytterligare två generatorer är de två paraboliska Lorentz-transformationerna i linje med riktningen ${\vec {e}}_{3}$ som ges i artikeln om Lorentz-gruppen . Med andra ord är isotropigruppen i ett nollelektrovakuum en tredimensionell Lie-grupp som är isomorf till E(2), isometrigruppen i det euklidiska planet.

Det faktum att dessa resultat är exakt desamma i krökta rumstider som för elektrodynamik i platt Minkowski-rumtid är ett uttryck för ekvivalensprincipen .

Egenvärden

Det karakteristiska polynomet för Einstein-tensorn i ett elektrovakuum som inte är noll måste ha formen

\chi (\lambda )=\left(\lambda +8\pi \epsilon \right)^{2}\ ,\left(\lambda -8\pi \epsilon \right)^{2}

Med hjälp av Newtons identiteter kan detta tillstånd återuttryckas i termer av spåren av krafterna hos Einstein-tensoren som

t_{1}=t_{3}=0,\;t_{4}=t_{2}^{2}/4

var

t_{ 1}={G^{a}}_{a},\;t_{2}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\;t_ {3}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},\;t_{4}={ G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}

Detta nödvändiga kriterium kan vara användbart för att kontrollera att en förmodad icke-noll elektrovakuumlösning är rimlig, och är ibland användbar för att hitta icke-noll elektrovakuumlösningar.

Det karakteristiska polynomet för ett nollelektrovakuum försvinner på samma sätt , även om energitätheten inte är noll . Denna möjlighet är en tensoranalog av det välkända att en nollvektor alltid har försvinnande längd, även om den inte är nollvektorn. Således har varje nollelektrovakuum ett fyrdubbelt egenvärde , nämligen noll.

Rainichs förhållanden

År 1925 presenterade George Yuri Rainich rent matematiska villkor som är både nödvändiga och tillräckliga för att en Lorentzisk mångfald ska medge en tolkning i allmän relativitet som ett icke-noll elektrovakuum. Dessa omfattar tre algebraiska villkor och ett differentiellt villkor. Villkoren är ibland användbara för att kontrollera att ett förmodat icke-null elektrovakuum verkligen är vad det påstår, eller till och med för att hitta sådana lösningar.

Analoga nödvändiga och tillräckliga villkor för ett noll elektrovakuum har hittats av Charles Torre.

Testfält

Ibland kan man anta att fältenergin för ett elektromagnetiskt fält är så liten att dess gravitationseffekter kan försummas. Sedan, för att få en ungefärlig elektrovakuumlösning, behöver vi bara lösa Maxwell-ekvationerna på en given vakuumlösning . I det här fallet kallas det elektromagnetiska fältet ofta för ett testfält , i analogi med termen testpartikel (betecknar ett litet föremål vars massa är för liten för att bidra märkbart till det omgivande gravitationsfältet).

Här är det användbart att veta att alla Killing-vektorer som kan finnas närvarande (i fallet med en vakuumlösning) automatiskt uppfyller de krökta spacetime Maxwell-ekvationerna .

Observera att denna procedur motsvarar att anta att det elektromagnetiska fältet, men inte gravitationsfältet, är "svagt". Ibland kan vi gå ännu längre; om gravitationsfältet också anses vara "svagt", kan vi oberoende lösa de linjäriserade Einstein-fältekvationerna och Maxwell-ekvationerna (platt rumstid) på en Minkowksi-vakuumbakgrund. Då ger den (svaga) metriska tensorn den ungefärliga geometrin; Minkowski-bakgrunden är omöjlig att observera med fysiska medel, men matematiskt mycket enklare att arbeta med, närhelst vi kan komma undan med ett sånt grepp.

Exempel

Anmärkningsvärda individuella icke-null elektrovakuumlösningar inkluderar:

Reissner–Nordström elektrovakuum (som beskriver geometrin runt en laddad sfärisk massa),
Kerr-Newman elektrovakuum (som beskriver geometrin runt ett laddat, roterande föremål),
Melvin elektrovakuum (en modell av ett cylindriskt symmetriskt magnetostatiskt fält),
Garfinkle–Melvin elektrovakuum (som föregående, men inklusive en gravitationsvåg som färdas längs symmetriaxeln),
Bertotti–Robinson elektrovakuum: detta är en enkel rumtid med en anmärkningsvärd produktstruktur; det härrör från ett slags "sprängning" av horisonten av Reissner–Nordström elektrovakuum,
Witten electrovacuums (upptäckt av Louis Witten , far till Edward Witten ).

Anmärkningsvärda individuella nollelektrovakuumlösningar inkluderar:

den monokromatiska elektromagnetiska planvågen , en exakt lösning som är den generella relativitistiska analogen till de plana vågorna i klassisk elektromagnetism,
Bell–Szekeres elektrovakuum (en kolliderande plan vågmodell).

Några välkända familjer av elektrovakuum är:

Weyl–Maxwell elektrovakuum: detta är familjen av alla statiska axisymmetriska elektrovakuumlösningar; det inkluderar Reissner–Nordström elektrovakuum,
Ernst–Maxwell elektrovakuum: detta är familjen av alla stationära axisymmetriska elektrovakuumlösningar; det inkluderar Kerr-Newman elektrovakuum,
Beck–Maxwell elektrovakuum: alla icke-roterande cylindriskt symmetriska elektrovakuumlösningar,
Ehlers–Maxwell elektrovakuum: alla stationära cylindriskt symmetriska elektrovakuumlösningar,
Szekeres electrovacuums: alla par av kolliderande plana vågor, där varje våg kan innehålla både gravitationsstrålning och elektromagnetisk strålning; dessa lösningar är noll elektrovakuum utanför interaktionszonen , men i allmänhet icke noll elektrovakuum inuti interaktionszonen, på grund av den icke-linjära interaktionen mellan de två vågorna efter att de kolliderar.

Många pp-vågsrymdtider medger en elektromagnetisk fälttensor som gör dem till exakta nollelektrovakuumlösningar.

Se även

Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Exakta lösningar av Einsteins fältekvationer . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7 . Se avsnitt 5.4 för Rainich-förhållandena, avsnitt 19.4 för Weyl–Maxwell elektrovakuum, avsnitt 21.1 för Ernst-Maxwell elektrovakuum, avsnitt 24.5 för pp-vågor, avsnitt 25.5 för Szekeres elektrovakuum, etc.
Griffiths, JB (1991). Kolliderande planvågor i allmän relativitet . Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1 . Den definitiva resursen på kolliderande plana vågor, inklusive exemplen som nämns ovan.