Initial värdeformulering (allmän relativitetsteori)
Den initiala värdeformuleringen av allmän relativitet är en omformulering av Albert Einsteins teori om allmän relativitet som beskriver ett universum som utvecklas över tiden .
Varje lösning av Einsteins fältekvationer omfattar hela historien om ett universum – det är inte bara en ögonblicksbild av hur saker och ting är, utan en hel rumtid : ett uttalande som omfattar materiens och geometrins tillstånd överallt och i varje ögonblick i det specifika universum. Av detta tecken verkar Einsteins teori vara annorlunda än de flesta andra fysikaliska teorier, som specificerar evolutionsekvationer för fysiska system; om systemet är i ett givet tillstånd vid något givet ögonblick, tillåter fysikens lagar dig att extrapolera dess förflutna eller framtid. För Einsteins ekvationer verkar det finnas subtila skillnader jämfört med andra fält: de är självinteragerande (det vill säga icke-linjära även i frånvaro av andra fält); de är invarianta för diffeomorfism , så för att få en unik lösning måste ett fast bakgrundsmått och mätvillkor införas; slutligen bestämmer måtten rymdtidsstrukturen och därmed beroendedomänen för varje uppsättning initiala data, så regionen där en specifik lösning kommer att definieras är inte a priori definierad.
Det finns dock ett sätt att omformulera Einsteins ekvationer som övervinner dessa problem. Först och främst finns det sätt att skriva om rumtiden som utvecklingen av "rymden" i tiden; en tidigare version av detta beror på Paul Dirac , medan ett enklare sätt är känt efter dess uppfinnare Richard Arnowitt , Stanley Deser och Charles Misner som ADM-formalism . I dessa formuleringar, även kända som "3+1" tillvägagångssätt, delas rumtiden i en tredimensionell hyperyta med inre metrik och en inbäddning i rymdtid med yttre krökning; dessa två kvantiteter är de dynamiska variablerna i en Hamiltonsk formulering som spårar hyperytans utveckling över tiden. Med en sådan uppdelning är det möjligt att ange den initiala värdeformuleringen av allmän relativitet . Det involverar initiala data som inte kan specificeras godtyckligt men som måste uppfylla specifika begränsningsekvationer , och som definieras på något lämpligt jämnt tremanifold ; precis som för andra differentialekvationer är det då möjligt att bevisa existens- och unikhetssatser , nämligen att det finns en unik rumtid som är en lösning av Einsteinsekvationer, som är globalt hyperboliska , för vilka är en Cauchy yta (dvs alla tidigare händelser påverkar vad som händer på och alla framtida händelser påverkas av vad som händer på den), och har den specificerade interna metriska och yttre krökningen; alla rumtider som uppfyller dessa villkor är relaterade av isometrier .
Den initiala värdeformuleringen med dess 3+1-delning är grunden för numerisk relativitet ; försök att simulera utvecklingen av relativistiska rumtider (särskilt sammanslagning av svarta hål eller gravitationskollaps ) med hjälp av datorer. Det finns dock betydande skillnader för simulering av andra fysiska evolutionekvationer som gör numerisk relativitet särskilt utmanande, särskilt det faktum att de dynamiska objekt som utvecklas inkluderar själva rummet och tiden (så det finns ingen fast bakgrund att utvärdera mot t.ex. , störningar som representerar gravitationsvågor) och förekomsten av singulariteter (som, när de tillåts inträffa inom den simulerade delen av rymdtiden, leder till godtyckligt stora tal som skulle behöva representeras i datormodellen).
Se även
Anteckningar
- Arnowitt, Richard; Deser, Stanley; Misner, Charles W. (1962). "Den allmänna relativitetsteoriens dynamik". I Witten, L. (red.). Gravitation: En introduktion till aktuell forskning . Wiley. s. 227–265.
- Bruhat, Yvonne (1962). "The Cauchy Problem". I Witten, L. (red.). Gravitation: En introduktion till aktuell forskning . Wiley. sid. 130.
- Fourès-Bruhat, Yvonne (1952). "Théoréme d'existence pour sures systémes d'équations aux derivées partielles non linéaires" . Acta Mathematica . 88 (1): 141–225. Bibcode : 1952AcM....88..141F . doi : 10.1007/BF02392131 .
- Gourgoulhon, Eric (2007). 3+1 Formalism och grunder för numerisk relativitet . arXiv : gr-qc/0703035 . Bibcode : 2007gr.qc.....3035G .
- Hawking, Stephen W.; Ellis, George FR (1973). Den storskaliga strukturen av rum-tid . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4 .
- Kalvakota, Vaibhav R. (1 juli 2021). " En kort redogörelse för Cauchy-problemet i allmän relativitet" .
- Lehner, Luis (2001). "Numerisk relativitet: En recension". Klass. Quantum Grav . 18 (17): 25–86 kr. arXiv : gr-qc/0106072 . Bibcode : 2001CQGra..18R..25L . doi : 10.1088/0264-9381/18/17/202 . S2CID 9715975 .
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitation . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 .
- Reula, Oscar A. (1998). "Hyperboliska metoder för Einsteins ekvationer" . Levande Rev. Relativ . 1 (1): 3. Bibcode : 1998LRR.....1....3R . doi : 10.12942/lrr-1998-3 . PMC 5253804 . PMID 28191833 . Hämtad 2007-08-29 .
- Wald, Robert M. (1984). Allmän relativitet . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2 .