Hydrodynamisk helicitet

Den här sidan handlar om helicitet i vätskedynamik. För magnetfälts skruvlighet, se magnetisk skruvlinje . För helicitet i partikelfysik , se helicitet (partikelfysik) .

I vätskedynamik är heliciteten , under lämpliga förhållanden, en invariant av Euler-ekvationerna för vätskeflöde, med en topologisk tolkning som ett mått på länkning och/eller knutning av virvellinjer i flödet. Detta bevisades första gången av Jean-Jacques Moreau 1961 och Moffatt härledde det 1969 utan kunskap om Moreaus papper. Denna helicitetsinvariant är en förlängning av Woltjers teorem för magnetisk helicitet .

Låt $\mathbf {u} (x,t)$ vara hastighetsfältet och $\nabla \times \mathbf {u}$ motsvarande virvelfält. Under följande tre förhållanden transporteras virvellinjerna med (eller "fryst in") flödet: (i) vätskan är oskyl; (ii) antingen är flödet inkompressibelt ( $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ ), eller så är det komprimerbart med en barotropisk relation $p=p (\rho )$ mellan tryck $p$ och densitet $\rho$ ; och (iii) alla kroppskrafter som verkar på vätskan är konservativa. Under dessa förhållanden transporteras varje stängd yta $S$ på vilken ${\displaystyle n\cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0},$ liksom vorticity, med flödet.

Låt $V$ vara volymen inuti en sådan yta. Då definieras heliciteten i ${\displaystyle H} av$

$H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.$

För en lokaliserad virvelfördelning i en obegränsad vätska kan $V$ tas för att vara hela rymden, och $H$ är då den totala heliciteten för flödet. $H$ är oföränderlig just därför att virvellinjerna är frusna i flödet och deras koppling och/eller knutning därför bevaras, vilket erkänts av Lord Kelvin (1868). Helicitet är en pseudo-skalär storhet: den ändrar tecken under förändring från en högerhänt till en vänsterhänt referensram; det kan betraktas som ett mått på flödets handenhet (eller chiralitet ). Helicitet är en av de fyra kända integralinvarianterna i Eulerekvationerna; de andra tre är energi , momentum och vinkelmomentum .

För två länkade oknutna virvelrör med cirkulationer $\kappa _{1}$ och $\kappa _{2}$ och ingen inre vridning, ges heliciteten av ${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}} ,$ där $n$ är Gauss-kopplingsnumret för de två rören, och plus eller minus väljs enligt eftersom länkaget är höger- eller vänsterhänt. För ett enda knutet virvelrör med cirkulation ${\displaystyle \kappa } ,$ som visas av Moffatt & Ricca (1992), ges heliciteten av $H=\ kappa ^{2}(Wr+Tw)$ , där $Wr$ och $Tw$ är rörets vridning och vridning ; summan $Wr+Tw$ är känd för att vara invariant under kontinuerlig deformation av röret.

Helicitetens invarians utgör en viktig hörnsten i ämnet topologisk vätskedynamik och magnetohydrodynamik , som handlar om globala egenskaper hos flöden och deras topologiska egenskaper.

Meteorologi

Inom meteorologi motsvarar helicitet överföringen av virvel från omgivningen till ett luftpaket i konvektiv rörelse. Här förenklas definitionen av helicitet för att endast använda den horisontella komponenten av vind och virvel :

$H=\int {{ \vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{\mathbf {Z} }=\int {{\vec {V}}_{h} }\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}Z={\text{Altitude}}\\{ \vec {V}}_{h}={\text{Horisontell hastighet}}\\{\vec {\zeta }}_{h}={\text{Horisontell virvel}}\end{fall}}$

Enligt denna formel, om den horisontella vinden inte ändrar riktning med höjden kommer H att vara noll eftersom $V_{h}$ och $\nabla \times V_{h}$ är vinkelräta den ena till den andra gör sin skalära produkt noll. H är då positivt om vinden vänder (vrider medurs ) med höjden och negativ om den backar (vrider moturs ). Denna helicitet som används inom meteorologi har energienheter per massenheter ( ${m^{2}}/{s^{2}}$ ) och tolkas därför som ett mått på energiöverföringen av vindskjuvning med höjd, inklusive riktad.

Detta begrepp används för att förutsäga möjligheten av tornadisk utveckling i ett åskmoln . I det här fallet kommer den vertikala integrationen att begränsas under molntopparna (vanligtvis 3 km eller 10 000 fot) och den horisontella vinden kommer att beräknas till vinden i förhållande till stormen genom att subtrahera dess rörelse:

$SRH=\int {\left({\vec {V}}_{ h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases }{\vec {C}}={\text{Molnets rörelse till marken}}\end{cases}}$

Kritiska värden för SRH ( S torm R elative H elicity) för tornadisk utveckling, som forskats i Nordamerika , är:

• SRH = 150-299 ... superceller möjliga med svaga tornados enligt Fujita-skala
• SRH = 300-499 ... mycket gynnsam för supercellernas utveckling och starka tornados
• SRH > 450 ... våldsamma tornados
• När det endast beräknas under 1 km (4 000 fot) är gränsvärdet 100.

Helicitet i sig är inte den enda komponenten i kraftiga åskväder , och dessa värden ska tas med försiktighet. Därför har Energy Helicity Index ( EHI ) skapats. Det är resultatet av SRH multiplicerat med CAPE ( Convective Available Potential Energy ) och sedan dividerat med ett tröskelvärde CAPE: EHI = (CAPE x SRH) / 160 000 . Detta inkluderar inte bara luftpaketets helicitet utan energin och försöker därför eliminera svag potential för åskväder även i starka SRH-regioner. De kritiska värdena för EHI:

• EHI = 1 ... möjliga tornados
• EHI = 1-2 ... måttliga till kraftiga tornados
• EHI > 2 ... starka tornados

Anteckningar

• Batchelor, GK , (1967, omtryckt 2000) An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge Univ. Tryck
•   Ohkitani, K., " Elementär redogörelse för vorticitet och relaterade ekvationer" . Cambridge University Press. 30 januari 2005. ISBN 0-521-81984-9
•   Chorin, AJ , " Virvling och turbulens ". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. 1 mars 1994. ISBN 0-387-94197-5
•   Majda, AJ & Bertozzi, AL, " Vorticity and Incompressible Flow " . Cambridge University Press; 1:a upplagan. 15 december 2001. ISBN 0-521-63948-4
•   Tritton, DJ , " Physical Fluid Dynamics ". Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
•   Arfken, G., " Mathematical Methods for Physicists ", 3:e uppl. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5
• Moffatt, HK (1969) Graden av knotighet hos trassliga virvellinjer. J. Fluid Mech . 35 , s. 117–129.
• Moffatt, HK & Ricca, RL (1992) Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant. Proc. R. Soc. Lond. A 439 , s. 411–429.
• Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868) Om virvelrörelse. Trans. Roy. Soc. Edin. 25 , s. 217–260.