Magnetisk helicitet

Inom plasmafysik är magnetisk helicitet ett mått på kopplingen, vridningen och vridningen av ett magnetfält . I ideal magnetohydrodynamik är magnetisk helicitet bevarad . När ett magnetfält innehåller magnetisk helicitet, tenderar det att bilda storskaliga strukturer från småskaliga. Denna process kan hänvisas till som en omvänd överföring i Fourierrymden .

Denna andra egenskap gör magnetisk helicitet speciell: tredimensionella turbulenta flöden tenderar att "förstöra" strukturen, i den meningen att storskaliga virvlar bryts upp i mindre och mindre (en process som kallas "direkt energikaskad" , beskriven av Lewis Fry Richardson och Andrey Nikolaevich Kolmogorov) . På de minsta skalorna skingras virvlarna i värme genom viskösa effekter. Genom en sorts "omvänd kaskad av magnetisk helicitet" händer det motsatta: små spiralformade strukturer (med en magnetisk helicitet som inte är noll) leder till bildandet av storskaliga magnetfält. Detta är till exempel synligt i det heliosfäriska strömskiktet – en stor magnetisk struktur i solsystemet.

Magnetisk helicitet är av stor relevans i flera astrofysiska system, där resistiviteten typiskt är mycket låg, så att magnetisk helicitet bevaras till en mycket god approximation. Till exempel: magnetisk helicitetsdynamik är viktig i solflammor och koronala massutkastningar . Magnetisk helicitet finns i solvinden . Dess bevarande är betydande i dynamoprocesser . Det spelar också en roll i fusionsforskning , till exempel i experiment med omvänd fältnypa .

Matematisk definition

I allmänhet är heliciteten $H^{\mathbf {f} }$ för ett jämnt vektorfält $\mathbf {f}$ begränsat till en volym $V$ standardmåttet för i vilken utsträckning fältlinjerna lindar och lindas runt varandra. Den definieras som volymintegralen över $V$ av den skalära produkten av $\mathbf {f}$ och dess krullning , $\nabla \times {\mathbf {f} }$ :

$H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f}}\right)\ dV.$

Magnetisk helicitet

Magnetisk helicitet $H^{\mathbf {M} }$ är heliciteten för en magnetisk vektorpotential ${\mathbf {A} }$ där $\nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$ är det associerade magnetfältet begränsat till en volym $V$ . Magnetisk helicitet kan då uttryckas som

$H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.$

Eftersom den magnetiska vektorpotentialen inte är mätinvariant , är den magnetiska heliciteten inte heller mätinvariant i allmänhet. Som en konsekvens kan den magnetiska heliciteten för ett fysiskt system inte mätas direkt. Under vissa förhållanden och under vissa antaganden kan man dock mäta ett systems strömhelicitet och utifrån det, när ytterligare villkor är uppfyllda och under ytterligare antaganden, härleda den magnetiska heliciteten.

Magnetisk helicitet har enheter av magnetiskt flöde i kvadrat: Wb ² ( webers i kvadrat) i SI-enheter och Mx ² ( maxwells i kvadrat) i Gaussiska enheter .

Aktuell helicitet

Den aktuella heliciteten, eller heliciteten $M^{\mathbf {J} }$ för magnetfältet $\mathbf {B}$ begränsad till en volym $V$ , kan uttryckas som

$H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV$

där ${\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }$ är strömtätheten . Till skillnad från magnetisk helicitet är strömhelicitet inte en idealisk invariant (den bevaras inte även när den elektriska resistiviteten är noll).

Topologisk tolkning

Namnet "helicitet" bygger på det faktum att banan för en vätskepartikel i en vätska med hastighet ${\boldsymbol {v}}$ och virvel ${\boldsymbol {\omega } }=\nabla \times {\boldsymbol {v}}$ bildar en helix i områden där den kinetiska heliciteten $\textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \ cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0$ . När $\textstyle H^{K}>0$ är helixen högerhänt och när $\textstyle H^{K}<0$ är den vänsterhänt. Detta beteende är mycket likt magnetfältslinjer.

Områden där den magnetiska heliciteten inte är noll kan också innehålla andra typer av magnetiska strukturer som spiralformade magnetfältlinjer. Magnetisk helicitet är verkligen en generalisering av det topologiska konceptet att länka tal till de differentialstorheter som krävs för att beskriva magnetfältet. Länkningsnumret beskriver hur många magnetfältslinjer som är sammanlänkade (se för ett matematiskt bevis på det). Genom ett enkelt experiment med papper och sax kan man visa att magnetfältslinjer som vänder sig runt varandra kan anses vara sammanlänkade (figur 5 i ). Således kan närvaron av magnetisk helicitet tolkas som spiralformade magnetfältlinjer, sammanlänkade magnetiska strukturer, men även magnetfältlinjer som vänder sig runt varandra.

Exempel på spiralformade strukturer i DNA:t . Det ser likadant ut för spiralformade magnetfältlinjer. Topologiskt sett: vridningsenheter och vridningsenheter kan bytas ut .

Magnetiska fältlinjer som vänder sig runt varandra kan ha flera former. Låt oss till exempel betrakta en uppsättning av vridande magnetfältlinjer i ett nära grannskap, som bildar ett så kallat " magnetiskt flödesrör " (se figur för en illustration).

" Twist " betyder att flödesröret roterar runt sin egen axel (siffror med Twist= ${\displaystyle \pm 1} )$ . Topologiskt sett kan enheter för vridning och vridning (vilket betyder rotationen av själva flödesrörets axel — figurer med Writhe= $\pm 1$ ) omvandlas till varandra. Man kan också visa att knutar också är likvärdiga med enheter av vridning och/eller vridning.

Som med många kvantiteter inom elektromagnetism är magnetisk helicitet (som beskriver magnetiska fältlinjer) nära relaterad till fluidmekanisk helicitet (som beskriver fluidflödeslinjer) och deras dynamik är sammanlänkade.

Idealisk kvadratisk invarians

I slutet av 1950-talet upptäckte Lodewijk Woltjer och Walter M. Elsässer oberoende av varandra den ideala invariansen av magnetisk helicitet, det vill säga dess bevarande när resistiviteten är noll. Woltjers bevis, giltigt för ett slutet system, upprepas i följande:

I ideal magnetohydrodynamik kan tidsutvecklingen av ett magnetfält och magnetisk vektorpotential uttryckas med hjälp av induktionsekvationen som

${\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\ nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v } }\ gånger {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,$

där $\nabla \Phi$ är en skalär potential som ges av mätarvillkoret (se § Mätaröverväganden ) . Genom att välja mätaren så att den skalära potentialen försvinner, ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} } ,$ ges tidsutvecklingen av magnetisk helicitet i en volym ${\displaystyle V} av:$

${\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\ mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t} }\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V} {\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}$

Punktprodukten i integranden för den första termen är noll eftersom ${\mathbf {B} }$ är ortogonal mot korsprodukten ${\mathbf {v} }\times {\mathbf { B} }$ , och den andra termen kan integreras av delar att ge

${\frac {\partial H^{\mathbf {\ M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }} {\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right )\cdot d\mathbf {S}$

där den andra termen är en ytintegral över gränsytan $\partial V$ för det slutna systemet. Punktprodukten i integranden för den första termen är noll eftersom $\nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$ är ortogonal mot $\partial {\mathbf {A} }/\partial t.$ Den andra termen försvinner också eftersom rörelser inuti det slutna systemet inte kan påverka vektorpotentialen utanför, så att vid gränsytan ${\ displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$ eftersom den magnetiska vektorpotentialen är en kontinuerlig funktion. Därför,

${\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,$

och magnetisk helicitet är idealiskt bevarad. I alla situationer där magnetisk helicitet är gauge-invariant, bevaras den magnetiska heliciteten idealiskt utan behov av det specifika mätarvalet $\nabla \Phi =\mathbf {0} .$

Magnetisk helicitet förblir bevarad i en bra approximation även med en liten men ändlig resistivitet, i vilket fall magnetisk återkoppling försvinner energi .

Omvänd överföringsegenskap

Småskaliga spiralformade strukturer tenderar att bilda större och större magnetiska strukturer. Detta kan kallas en omvänd överföring i Fourierrymden, i motsats till den (direkta) energikaskaden i tredimensionella turbulenta hydrodynamiska flöden. Möjligheten till en sådan omvänd överföring har först föreslagits av Uriel Frisch och medarbetare och har verifierats genom många numeriska experiment. Som en konsekvens är närvaron av magnetisk helicitet en möjlighet att förklara existensen och upprätthållandet av storskaliga magnetiska strukturer i universum.

Ett argument för denna inversa överföring hämtad från upprepas här, vilket är baserat på det så kallade "realiserbarhetsvillkoret" på det magnetiska heliciteten Fourierspektrum ${\hat { H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }$ (där ${\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }$ är Fourierkoefficienten vid vågvektorn ${\mathbf {k} }$ av magnetfältet ${\mathbf {B} }$ , och på liknande sätt för ${\hat {\mathbf {A} }}$ , stjärnan som anger komplext konjugat ). "Realiserbarhetsvillkoret" motsvarar en tillämpning av Cauchy-Schwarz inequality , vilket ger:

$|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k } }|}}$ ,

med $E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }$ det magnetiska energispektrumet. För att erhålla denna ojämlikhet, det faktum att $|{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|$ (med $displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$ \ solenoiddelen av Fouriertransformerad magnetisk vektorpotential, ortogonal mot vågvektorn i Fourierrymden) har använts, eftersom ${\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\ gånger {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }$ . Faktorn 2 finns inte i papperet eftersom den magnetiska heliciteten där definieras alternativt som ${\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf { A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV$ .

Man kan då föreställa sig en initial situation utan hastighetsfält och ett magnetfält som endast finns vid två vågvektorer $\mathbf {p}$ och $\mathbf {q}$ . Vi antar ett helt spiralformat magnetfält, vilket betyder att det mättar realiserbarhetsvillkoret: $|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}$ och $|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}$ . Om vi ​​antar att all energi- och magnetisk helicitetsöverföring görs till en annan vågvektor ${\displaystyle \mathbf {k} } ,$ bevarandet av magnetisk helicitet å ena sidan och av den totala energin $E^{T}=E^{M}+E^{K}$ (summan av (m)magnetisk och (k)inetisk energi) å andra sidan ger:

$H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^ {M},$

$E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} } ^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.$

Den andra likheten för energin kommer från det faktum att vi betraktar ett initialt tillstånd utan kinetisk energi. Då har vi nödvändigtvis $|\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)$ . Ja, om vi skulle ha ${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)} ,$ sedan:

$H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\ mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{ \frac {2(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M})}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\ mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},$

vilket skulle bryta realiseringsvillkoret. Det betyder att $|\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)$ . I synnerhet för ${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|} ,$ den magnetiska heliciteten överförs till en mindre vågvektor, vilket betyder till större skalor.

Mätöverväganden

Magnetisk helicitet är en gauge-beroende storhet, eftersom $\mathbf {A}$ kan omdefinieras genom att lägga till en gradient till den ( gauge choosing ). För perfekt ledande gränser eller periodiska system utan ett nettomagnetiskt flöde är emellertid den magnetiska heliciteten som finns i hela domänen mätinvariant, det vill säga oberoende av mätarvalet. En gauge-invariant relativ helicitet har definierats för volymer med icke-noll magnetiskt flöde på deras gränsytor.

Se även

• Woltjers sats

externa länkar

• AA Pevtsovs Helicity- sida
• Mitch Bergers publikationssida