Associativ bialgebroid

I matematik , om $L$ är en associativ algebra över något markfält k , så är en vänsterassociativ L $\displaystyle L}$ -bialgebroid en annan associativ k -algebra $H$ tillsammans med följande ytterligare kartor : en algebrakarta $\alpha :L\to H$ kallas källkartan, en algebrakarta $\beta :L^{\mathrm {op} } \to H$ kallas målkartan, så att elementen i bilderna av $\alpha$ och $\beta$ pendlar i $H$ , och inducerar därför en $L$ -bimodulstruktur på $H$ via regeln $ahb=\alpha (a)\beta (b)h$ för $a,b\in L,h\ i H$ ; en $L$ -bimodulmorfism $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$ som krävs för att vara en gemensam koassociativ comultiplication på $H$ i den monoidala kategorin $L$ -bimoduler med monoidal produkt $\otimes _{L}$ . Motsvarande enhet $\varepsilon :H\to L$ måste vara ett vänstertecken (motsvarande kartan ${ \displaystyle H\otimes L\ni h\otimes \ell \mapsto \varepsilon (h\alpha (\ell ))\in L}$ måste vara en vänsteråtgärd som utökar multiplikationen $L\otimes L \till L$ längs ${\displaystyle \alpha \otimes \mathrm {id} _{L}} )$ . Dessutom krävs en kompatibilitet mellan comultiplicationen $\Delta$ och multiplikationer på $H$ och på ${\displaystyle H\otimes H} .$ För en icke-kommutativ $L$ , är tensorkvadraten $H\otimes _{L}H$ inte en algebra, och frågar därför efter en bialgebraliknande kompatibilitet som $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$ är en morfism av k -algebror är inte vettigt. Istället kräver man att $H\otimes _{L}H$ har ett k -delrum $T$ som innehåller bilden av $\Delta$ och har en väldefinierad multiplikation inducerad från dess förbild under projektionen från den vanliga tensorkvadratalgebra $H\otimes H$ . Då kräver man att sammandragningen $\Delta |^{T}:H\to T$ är en homomorfism av enhetliga algebror. Om det är en homomorfism för en sådan $T$ kan man göra ett kanoniskt val för $T$ , nämligen den så kallade Takeuchis produkt ${\displaystyle H\times _{L}H\delmängd H\otimes _{L}H} ,$ som alltid ärver en associativ multiplikation via projektionen från $H\otimes H$ . Det räcker alltså att kontrollera om bilden av $\Delta$ finns i Takeuchis produkt snarare än att leta efter andra $T$ . Som framgår av Brzeziński och Militaru är begreppet en bialgebroid ekvivalent med begreppet $\times _{L}$ -algebra som introducerades av Takeuchi tidigare, 1977.

Associativ bialgebroid är en generalisering av en föreställning om k - bialgebra där en kommutativ jordring k ersätts av en möjligen icke-kommutativ k -algebra $L$ . Hopf-algebroider är associativa bialgebroider med en extra antipodkarta som är en antiautomorfism av $H$ som uppfyller ytterligare axiom.

Termen bialgebroid för detta begrepp har först föreslagits av JH. Lu. Modifieringsassociativen tas ofta bort från namnet, och behålls huvudsakligen endast när vi vill skilja det från begreppet en Lie bialgebroid , ofta också refererad bara som en bialgebroid. Associativa bialgebroider finns i två kirala versioner, vänster och höger. En dubbel begrepp är begreppet en bikoalgebroid.

Det finns en generalisering, en intern bialgebroid som abstraherar strukturen av en associativ bialgebroid till uppställningen där kategorin vektorrum ersätts med en abstrakt symmetrisk monoidal kategori som tillåter coequalizers som pendlar med tensorprodukten.

externa länkar

• nLab, Associativ bialgebroid, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
• Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, Lie algebra typ icke-kommutativa fasutrymmen är Hopf algebroider, Lett. Matematik. Phys. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188