Adams resolution

Inom matematiken , särskilt algebraisk topologi , finns det en upplösning analog med fria upplösningar av spektra som ger ett verktyg för att konstruera Adams spektralsekvens . I grund och botten är tanken att ta ett anslutningsspektrum av finit typ $X$ och iterativt lösa med andra spektra som finns i homotopikärnan i en karta som löser kohomologiklasserna i ${\ displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p)}$ med Eilenberg–MacLane-spektra .

Denna konstruktion kan generaliseras med hjälp av ett spektrum $E$ , såsom Brown–Peterson-spektrumet $BP$ , eller det komplexa kobordismspektrumet M $\displaystyle MU}$ , och används i konstruktionen av spektralsekvensen Adams–Novikov sid ⁴⁹ .

Konstruktion

Mod $p$ Adams upplösning $(X_{s},g_{s})$ för ett spektrum $X$ är ett visst "kedjekomplex" av spektra inducerade från att rekursivt titta på fibrerna i kartor till generaliserade Eilenberg-Maclane-spektra som ger generatorer för kohomologin av upplösta spektra ^{pg 43} . Med detta börjar vi med att överväga kartan

${\begin{matrix}X\\\downarrow \\K\end{matrix}}$

där $K$ är ett Eilenberg–Maclane-spektrum som representerar generatorerna av $H^{*}(X)$ , så det är av formen

$K=\bigwedge _{k=1}^{\infty }\bigwedge _{I_{k}}\Sigma ^{k}H \mathbb {Z} /p$

där $I_{k}$ indexerar en bas av ${\displaystyle H^{k}(X)} ,$ och kartan kommer från egenskaperna hos Eilenberg–Maclane spektra . Sedan kan vi ta homotopifibern för denna karta (som fungerar som en homotopikärna) för att få ett mellanslag $X_{1}$ . Observera att vi nu ställer in $X_{0}=X$ och $K_{0}=K$ . Sedan kan vi bilda ett kommutativt diagram

${\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}\\\downarrow &&\\K_{0}\end{matrix}}$

där den horisontella kartan är fiberkartan. Rekursivt iteration genom denna konstruktion ger ett kommutativt diagram

${\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}&\leftarrow &X_{2}&\leftarrow \cdots \ \\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matris}}$

ger samlingen $(X_{s},g_{s})$ . Detta betyder

$X_{s}={\text{Hofiber}}(f_{s-1}:X_{s-1}\ till K_{s-1})$

är homotopfibern för $f_{s-1}$ och $g_{s}:X_{s}\to X_{s-1}$ kommer från de universella egenskaperna hos homotopifibern.

Upplösning av kohomologi av ett spektrum

Nu kan vi använda Adams upplösning för att konstruera en fri ${\mathcal {A}}_{p}$ -upplösning för kohomologin $H^{*}(X)$ av ett spektrum $X$ . Från Adams upplösning finns det korta exakta sekvenser

$0\leftarrow H^{*}(X_{s})\leftarrow H^{*}( K_{s})\leftarrow H^{*}(\Sigma X_{s+1})\leftarrow 0$

som kan träs ihop för att bilda en lång exakt sekvens

$0\leftarrow H^{*}(X)\leftarrow H^{ *}(K_{0})\leftarrow H^{*}(\Sigma K_{1})\leftarrow H^{*}(\Sigma ^{2}K_{2})\leftarrow \cdots$

ger en fri upplösning på $H^{*}(X)$ som en ${\mathcal {A}}_{p}$ -modul.

E _* -Adams resolution

Eftersom det finns tekniska svårigheter med att studera kohomologiringen $E^{*}(E)$ i allmänhet ^{pg 280} , begränsar vi oss till fallet att betrakta homologikoalgebra $E_{*}(E)$ (av samarbeten). Notera för fallet $E=H\mathbb {F} _{p}$ , $H\mathbb {F} _{p *}(H\mathbb {F} _{p})={\mathcal {A}}_{*}$ är den dubbla Steenrod-algebra . Eftersom $E_{*}(X)$ är en $E_{*}(E)$ -komodul, kan vi bilda den tvågradiga gruppen

${\text{Ext}}_{E_{*}(E)}(E_{*}(\mathbb {S} ),EX))$

som innehåller $E_{2}$ -sidan i Adams–Novikovs spektralsekvens för $X$ som uppfyller en lista över tekniska villkor ^{pg 50} . För att få den här sidan måste vi konstruera $E_{*}$ -Adams upplösning ^{pg 49} , som är något analogt med den kohomologiska upplösningen ovan. Vi säger ett diagram över formen

${\begin{matrix}X_{0}&\xleftarrow {g_{0}} &X_{1}&\xleftarrow { g_{1}} &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matris}}$

där de vertikala pilarna $f_{s}:X_{s}\to K_{s}$ är en $E_{*}$ -Adams upplösning om

$X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})$ är homotopfibern för $f_{s}$
$E\wedge X_{s}$ är en tillbakadragning av $E\wedge K_{s}$ , därav $E_{*}( f_{s})$ är en monomorfism. Med tillbakadrag menar vi att det finns en karta $h_{s}:E\wedge K_{s}\to E\wedge X_{s}$ så att $h_{s}(E\wedge f_{s})=id_{E\wedge X_{s}}$
$K_{s}$ är en tillbakadragning av $E\wedge K_{s}$
${\text{Ext}}^{t,u}(E_{*}(\mathbb { S} ),E_{*}(K_{s}))=\pi _{u}(K_{s})$ om $t=0$ , annars är det $0$

Även om detta verkar vara en lång tvättlista över egenskaper, är de mycket viktiga i konstruktionen av spektralsekvensen. Dessutom påverkar retract-egenskaperna strukturen för konstruktionen av $E_{*}$ -Adams upplösning eftersom vi inte längre behöver ta en kilsumma av spektra för varje generator .

Konstruktion för ringspektra

Konstruktionen av $E_{*}$ -Adams upplösning är ganska enkel att ange i jämförelse med den tidigare upplösningen för alla associativa, kommutativa, bindande ringspektrum $E$ som uppfyller några ytterligare hypoteser. Dessa inkluderar $E_{*}(E)$ är platt över $\pi _{*}(E)$ , $\mu _{* }$ på $\pi _{0}$ är en isomorfism, och $H_{r}(E;A)$ med $\mathbb {Z} \subset A\subset \mathbb {Q}$ genereras ändligt för vilken den unika ringkartan

$\theta :\mathbb {Z} \to \pi _{0}(E)$

sträcker sig maximalt. Om vi ställer in

$K_{s}=E\wedge F_{s}$

och låt

$f_{s}:X_{s}\to K_{s}$

vara den kanoniska kartan, vi kan ställa in

$X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})$

Observera att $E$ är en tillbakadragning av $E\wedge E$ från dess ringspektrumstruktur, därför är $E\wedge X_{s}$ en tillbakadragning av ${\displaystyle E\wedge K_{s}=E\wedge E\wedge X_{s}} ,$ och på liknande sätt är $K_{s}$ en tillbakadragning av $E\wedge K_{s}$ . Dessutom