Homeotopi

Ej att förväxla med homotopi .

I algebraisk topologi , ett område av matematik , är en homeotopigrupp av ett topologiskt utrymme en homotopigrupp av gruppen av självhomeomorphisms av det utrymmet.

Definition

Homotopigruppsfunktionerna $\pi _{k}$ tilldelar varje bananslutet topologiskt utrymme $X$$k}(X)}$ { _ { av homotopiklasser av kontinuerliga kartor $S^{k}\to X.$

En annan konstruktion på ett mellanslag $X$ är gruppen av alla självhomeomorfismer ${\displaystyle X\to X} ,$ betecknad ${\rm {Homeo}}(X).$ Om X är ett lokalt kompakt , lokalt anslutet Hausdorff-utrymme så säger ett fundamentalt resultat av R. Arens att ${\rm {Homeo}}(X)$ kommer i själva verket att vara en topologisk grupp under den kompakta öppna topologin .

Under ovanstående antaganden är homeotopigrupperna för $X$ definierade som:

$HME_{k}(X)=\pi _{k}({\rm {Homeo}}(X)).$

Således $HME_{0}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo }}(X))=MCG^{*}(X)$ är mappningsklassgruppen för $X.$ Med andra ord, mappningsklassgruppen är uppsättningen av anslutna komponenter i ${\rm {Homeo}}(X)$ som specificerats av funktorn $\pi _{0}.$

Exempel

Enligt Dehn-Nielsens sats , om $X$ är en sluten yta då $HME_{0}(X)={ \rm {Ut}}(\pi _{1}(X)),$ dvs den nollte homotopigruppen av automorfismerna i ett rum är samma som den yttre automorfigruppen i dess fundamentala grupp .

•   McCarty, GS (1963). "Homeotopigrupper" (PDF) . Transaktioner från American Mathematical Society . 106 (2): 293–304. doi : 10.1090/S0002-9947-1963-0145531-9 . JSTOR 1993771 .
•   Arens, R. (1946). "Topologier för homeomorfismgrupper". American Journal of Mathematics . 68 (4): 593–610. doi : 10.2307/2371787 . JSTOR 2371787 .