Hartree atomenheter

Ej att förväxla med atommassaenheter .

Hartree -atomenheterna är ett system av naturliga måttenheter som är särskilt praktiskt för atomfysik och beräkningskemiberäkningar . De är uppkallade efter fysikern Douglas Hartree . Per definition kan följande fyra grundläggande fysiska konstanter var och en uttryckas som det numeriska värdet 1 multiplicerat med en koherent enhet i detta system:

• Reducerad Planck-konstant : $\hbar$ , även känd som atomär handlingsenhet
• Elementär laddning : $e$ , även känd som atomladdningsenheten
• Bohr radie : $a_{0}$ , även känd som atomlängdenheten
• Elektronmassa : $m_{\text{e}}$ , även känd som atommassaenheten

Atomenheter förkortas ofta "au" eller "au", som inte ska förväxlas med samma förkortning som också används för astronomiska enheter , godtyckliga enheter och absorbansenheter i andra sammanhang.

Definiera konstanter

Varje enhet i detta system kan uttryckas som en produkt av potenser av fyra fysiska konstanter utan en multiplikationskonstant. Detta gör det till ett sammanhängande system av enheter , samt gör de numeriska värdena för de definierande konstanterna i atomenheter lika med enhet.

Definiera konstanter

namn	Symbol	Värde i SI-enheter
reducerad Planck-konstant	$\hbar$	1 054 571 817 ... × 10 −34 J⋅s
elementär laddning	$e$	1,602 176 634 × 10 −19 C
Bohr radie	$a_{0}$	5,291 772 109 03 (80) × 10 −11 m
elektron vilomassa	$m_{\mathrm {e} }$	9,109 383 7015 (28) × 10 −31 kg

Från och med 2019 års omdefiniering av SI-basenheterna definieras den elementära laddningen $e$ och Planck-konstanten $h$ (och följaktligen även den reducerade Planck-konstanten ${\displaystyle \hbar } ) som att ha$ exakta numeriska värden i SI-enheter .

Fem symboler används vanligtvis som enheter i detta system, endast fyra av dem är oberoende:

Konstanter som används som enheter

Dimensionera	Symbol	Definition
handling	$\hbar$	$\hbar$
elektrisk laddning	$e$	$e$
längd	$a_{0}$	$4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/(m_{\text{e}}e^{2})$
massa	$m_{\text{e}}$	$m_{\text{e}}$
energi	$E_{\text{h}}$	$\hbar ^{2}/(m_{\text{e}}a_{0}^{2})$

Enheter

Nedan listas enheter som kan härledas i systemet. Några få namn, som anges i tabellen.

Härledda atomenheter

Atomenhet av	namn	Uttryck	Värde i SI-enheter	Övriga motsvarigheter
1: a hyperpolariserbarhet		$e^{3}a_{0}^{3}/E_{\text{h}}^{2}$	3,206 361 3061 (15) × 10 −53 C 3 ⋅m 3 ⋅J −2
2:a hyperpolariserbarheten		$e^{4}a_{0}^{4}/E_{\text{h}}^{3}$	6,235 379 9905 (38) × 10 −65 C 4 ⋅m 4 ⋅J −3
handling		$\hbar$	1 054 571 817 ... × 10 −34 J⋅s
avgift		$e$	1,602 176 634 × 10 −19 C
laddningstäthet		$e/a_{0}^{3}$	1,081 202 384 57 (49) × 10 12 C⋅m −3
nuvarande		$eE_{\text{h}}/\hbar$	6,623 618 237 510 (13) × 10 −3 A
elektriskt dipolmoment		$ea_{0}$	8,478 353 6255 (13) × 10 −30 C⋅m	≘   2 541 746 473 D
elektriskt fält		$E_{\text{h}}/ea_{0}$	5,142 206 747 63 (78) × 10 11 V⋅m −1	5,142 206 747 63 (78) GV⋅cm −1 , 51,422 067 4763 (78) V⋅Å −1
elektrisk fältgradient		$E_{\text{h}}/ea_{0}^{2}$	9,717 362 4292 (29) × 10 21 V⋅m −2
elektrisk polariserbarhet		$e^{2}a_{0}^{2}/E_{\text{h}}$	1,648 777 274 36 (50) × 10 −41 C 2 ⋅m 2 ⋅J −1
elektrisk potential		$E_{\text{h}}/e$	27.211 386 245 988 (53) V
elektriskt fyrpolsmoment		$ea_{0}^{2}$	4,486 551 5246 (14) × 10 −40 C⋅m 2
energi	hartree	$E_{\text{h}}$	4,359 744 722 2071 (85) × 10 −18 J	$2R_{\infty }hc$ , $\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}$ , 27.211 386 245 988 (53) eV
tvinga		$E_{\text{h}}/a_{0}$	8,238 723 4983 (12) × 10 −8 N	82.387 nN , 51.421 eV·Å −1
längd	bohr	$a_{0}$	5,291 772 109 03 (80) × 10 −11 m	$\hbar /m_{\text{e}}c\alpha$ , 0,529 177 210 903 (80) Å
magnetiskt dipolmoment		$\hbar e/m_{\text{e}}$	1,854 802 015 66 (56) × 10 −23 J⋅T −1	$2\mu _{\text{B}}$
magnetisk flödestäthet		$\hbar /ea_{0}^{2}$	2 350 517 567 58 (71) × 10 5 T	≘   2 350 517 567 58 (71) × 10 9 G
magnetiserbarhet		$e^{2}a_{0}^{2}/m_{\text{e}}$	7.891 036 6008 (48) × 10 −29 J⋅T −2
massa		$m_{\mathrm {e} }$	9,109 383 7015 (28) × 10 −31 kg
Momentum		$\hbar /a_{0}$	1 992 851 914 10 (30) × 10 −24 kg·m·s −1
permittivitet		$e^{2}/a_{0}E_{\text{h}}$	1,112 650 055 45 (17) × 10 −10 F⋅m −1	$4\pi \epsilon _{0}$
tryck		$E_{\text{h}}/{a_{0}}^{3}$	2,942 101 5697 (13) × 10 13 Pa
bestrålning		$E_{\text{h}}^{2}/\hbar {a_{0}}^{2}$	6,436 409 9007 (19) × 10 19 W⋅m −2
tid		$\hbar /E_{\text{h}}$	2,418 884 326 5857 (47) × 10 −17 s
hastighet		$a_{0}E_{\text{h}}/\hbar$	2,187 691 263 64 (33) × 10 6 m⋅s −1	$\alpha c$

Här,

• $c$ är ljusets hastighet
• $\epsilon _{0}$ är vakuumpermittiviteten
• $R_{\infty }$ är Rydberg-konstanten
• $h$ är Planck-konstanten
• $\alpha$ är finstrukturkonstanten
• $\mu _{\text{B}}$ är Bohr-magneten
• ≘ anger överensstämmelse mellan kvantiteter eftersom jämlikhet inte gäller.

Användning och notation

Atomenheter, som SI-enheter , har en massaenhet, en längdenhet och så vidare. Användningen och notationen skiljer sig dock något från SI.

Antag att en partikel med massan m har 3,4 gånger massan av elektron. Värdet på m kan skrivas på tre sätt:

• " $m=3,4~m_{\text{e}}$ ". Detta är den tydligaste notationen (men minst vanliga), där atomenheten uttryckligen ingår som en symbol.
• " $m=3.4~{\text{au}}$ " ("au" betyder "uttryckt i atomenheter"). Denna notation är tvetydig: Här betyder det att massan m är 3,4 gånger massans atomenhet. Men om en längd L var 3,4 gånger den atomära längdenheten, skulle ekvationen se likadan ut, " $L=3.4~{\text{au}}$ " Dimensionen måste härledas från sammanhanget.
• " $m=3,4$ ". Denna notation liknar den föregående och har samma dimensionella tvetydighet. Det kommer från att formellt sätta atomenheterna till 1, i det här fallet $m_{\text{e}}=1$ , så $3,4~m_{\text{e }}=3.4$ .

Fysiska konstanter

Dimensionslösa fysiska konstanter behåller sina värden i alla system av enheter. Att notera är finstrukturkonstanten $\alpha ={\frac {e^{2}}{(4\pi \epsilon _{0} )\hbar c}}\approx 1/137$ , som visas i uttryck som en konsekvens av valet av enheter. Till exempel har det numeriska värdet för ljusets hastighet, uttryckt i atomenheter, ett värde relaterat till finstrukturkonstanten.

Vissa fysiska konstanter uttryckta i atomenheter

namn	Symbol/Definition	Värde i atomenheter
ljusets hastighet	$c$	$(1/\alpha )\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar \approx 137\,a_{ 0}E_{\text{h}}/\hbar$
klassisk elektronradie	$r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ 2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}$	$\alpha ^{2}\,a_{0}\approx 0,0000532\,a_{0}$
reducerad Compton-våglängd för elektronen	ƛ e $={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}$	$\alpha \,a_{0}\approx 0,007297\,a_{0}$
Bohr radie	$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^ {2}}}$	$1\,a_{0}$
protonmassa	$m_{\mathrm {p} }$	$\approx 1836\,m_{\text{e}}$

Bohr-modell i atomenheter

Atomenheter är valda för att återspegla egenskaperna hos elektroner i atomer, vilket är särskilt tydligt i den klassiska Bohr-modellen av väteatomen för den bundna elektronen i dess grundtillstånd :

• Massa = 1 au massa
• Orbitalradie = 1 au längd
• Orbitalhastighet = 1 au hastighet
• Omloppsperiod = 2 π au tid
• Orbital vinkelhastighet = 1 radian per au tid
• Orbital rörelsemängd = 1 au rörelsemängd
• Joniseringsenergi = 1 / 2 au energi
• Elektriskt fält (beroende på kärnan) = 1 au elektriskt fält
• Elektrisk attraktionskraft (beroende på kärnan) = 1 au kraft

Icke-relativistisk kvantmekanik i atomenheter

I atomfysikens sammanhang kan icke-dimensionalisering med användning av de definierande konstanterna för Hartrees atomsystem vara en bekväm genväg, eftersom det kan ses som att eliminera dessa konstanter var de än förekommer. Nondimesionalisering innebär en substitution av variabler som resulterar i ekvationer där dessa konstanter ( $m_{\text{e}}$ , $e$ , $\hbar$ och ${\ displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ) "har satts till 1". Även om variablerna inte längre är de ursprungliga variablerna, används vanligtvis samma symboler och namn.

Till exempel är Schrödinger-ekvationen för en elektron med kvantiteter som använder SI-enheter

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r } )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t).$

Samma ekvation med motsvarande icke-dimensionaliserade kvantitetsdefinitioner är

$-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t )=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t).$

För det speciella fallet med elektronen runt en väteatom är Hamiltonian med SI-kvantiteter:

${\hat {H}}=-{{{\hbar ^{2}} \över {2m_{\text{ e}}}}\nabla ^{2}}-{1 \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{e^{2}} \over {r}},$

medan motsvarande icke-dimensionaliserade ekvation är

${\hat {H}}=-{{{1} \over {2}}\nabla ^{2}}-{{1} \over {r}}.$

Jämförelse med Planck-enheter

Både Planck-enheter och atomenheter är härledda från vissa grundläggande egenskaper hos den fysiska världen och har liten antropocentrisk godtycke, men involverar fortfarande några godtyckliga val när det gäller de definierande konstanterna. Atomenheter designades för beräkningar i atomskala i dagens universum, medan Planck-enheter är mer lämpade för kvantgravitation och tidig universums kosmologi . Både atomenheter och Planck-enheter använder den reducerade Planck-konstanten . Utöver detta använder Planck-enheter de två grundläggande konstanterna för allmän relativitet och kosmologi: gravitationskonstanten $G$ och ljusets hastighet i vakuum, $c$ . Atomenheter däremot använder elektronens massa och laddning, och som ett resultat är ljusets hastighet i atomenheter $c=1/\alpha \,{\text{au}}\approx 137\,{\text{au}}$ En elektrons omloppshastighet runt en liten atom är av storleksordningen 1 atomenhet, så diskrepansen mellan hastighetsenheterna i de två systemen återspeglar det faktum att elektroner kretsar kring små atomer med cirka 2 storleksordningar långsammare än ljusets hastighet.

Det är mycket större skillnader för vissa andra enheter. Till exempel är massenheten i atomenheter massan av en elektron, medan massenheten i Planck-enheter är Planckmassan, som är 22 storleksordningar större än atommassaenheten. På samma sätt finns det många storleksordningar som skiljer Planck-enheterna av energi och längd från motsvarande atomenheter.

Se även

• Naturliga enheter
• Planck enheter
• Olika utökningar av CGS-systemet till elektromagnetism

Anteckningar och referenser

•   Shull, H.; Hall, GG (1959). "Atomenheter". Naturen . 184 (4698): 1559. Bibcode : 1959Natur.184.1559S . doi : 10.1038/1841559a0 . S2CID 23692353 .
• "CODATA Internationally recommended 2018 values ​​of the Fundamental Physical Constants" . NIST-referens om konstanter, enheter och osäkerhet . 2019.