Hartogs förlängningssats

"Hartogs' lemma" omdirigerar här. För lemma om oändliga ordningstal, se Hartogs nummer .

I teorin om funktioner för flera komplexa variabler är Hartogs förlängningssats ett uttalande om singulariteterna hos holomorfa funktioner för flera variabler. Informellt sägs det att stödet för singulariteterna för sådana funktioner inte kan vara kompakt , därför måste den singulära uppsättningen av en funktion av flera komplexa variabler (löst sett) "gå till oändligheten" i någon riktning. Mer exakt visar det att en isolerad singularitet alltid är en borttagbar singularitet för vilken analytisk funktion som helst av n > 1 komplexa variabler. En första version av denna sats bevisades av Friedrich Hartogs , och som sådan är den också känd som Hartogs lemma och Hartogs princip : i tidigare sovjetisk litteratur kallas den också Osgood-Brown theorem, vilket erkänner senare arbete av Arthur Barton Brown och William Fogg Osgood . Denna egenskap hos holomorfa funktioner av flera variabler kallas också Hartogs fenomen : dock används lokaliseringen "Hartogs fenomen" också för att identifiera egenskapen hos lösningar av system med partiella differential- eller faltningsekvationer som uppfyller Hartogs typsatser.

Historisk anteckning

Det ursprungliga beviset gavs av Friedrich Hartogs 1906, med hjälp av Cauchys integralformel för funktioner av flera komplexa variabler . Idag förlitar sig vanliga bevis på antingen Bochner-Martinelli-Koppelman-formeln eller lösningen av de inhomogena Cauchy-Riemann-ekvationerna med kompakt stöd. Det senare tillvägagångssättet beror på Leon Ehrenpreis som initierade det i tidningen ( Ehrenpreis 1961 ). Ännu ett mycket enkelt bevis för detta resultat gavs av Gaetano Fichera i tidningen ( Fichera 1957 ), genom att använda sin lösning av Dirichlet-problemet för holomorfa funktioner av flera variabler och det relaterade begreppet CR-funktion: senare utökade han satsen till att en viss klass av partiella differentialoperatorer i tidningen ( Fichera 1983 ), och hans idéer utforskades senare ytterligare av Giuliano Bratti. Även den japanska skolan för teorin om partiella differentialoperatorer arbetade mycket med detta ämne, med anmärkningsvärda bidrag från Akira Kaneko. Deras tillvägagångssätt är att använda Ehrenpreis grundläggande princip .

Hartogs fenomen

Tänk till exempel på den inre domänen i två variabler

$H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{eller }}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}$

i den tvådimensionella polydisken $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}$ där $0<\varepsilon <1$ .

Teorem Hartogs (1906) : alla holomorfa funktioner $f$ på $H_{\varepsilon }$ fortsätter analytiskt till $\Delta ^{2}$ . Det finns nämligen en holomorf funktion $F$ på $\Delta ^{2}$ så att $F=f$ på $H_{\varepsilon }$ .

Ett sådant fenomen kallas Hartogs fenomen , vilket leder till föreställningen om denna Hartogs förlängningssats och domänen holomorfi .

Formellt uttalande och bevis

Låt f vara en holomorf funktion på en mängd G \ K , där G är en öppen delmängd av C ⁿ ( n ≥ 2 ) och K är en kompakt delmängd av G . Om komplementet G \ K är anslutet, kan f utökas till en unik holomorf funktion F på G .

Ehrenpreis bevis är baserat på förekomsten av mjuka bump-funktioner , unik fortsättning av holomorfa funktioner och Poincaré-lemmat — det sista i formen som för varje jämn och kompakt stödd differential (0,1)-form ω på C ⁿ med ∂ ω = 0 , det finns en smidig och kompakt stödd funktion η på C ⁿ med ∂ η = ω . Det avgörande antagandet n ≥ 2 krävs för giltigheten av detta Poincaré-lemma; om n = 1 är det i allmänhet omöjligt för η att stödjas kompakt.

Ansatsen för F är φ f − v för jämna funktioner φ och v på G ; ett sådant uttryck är meningsfullt förutsatt att φ är identiskt lika med noll där f är odefinierat (nämligen på K ). Dessutom, givet varje holomorf funktion på G som är lika med f på någon öppen mängd , visar unik fortsättning (baserat på kopplingen av G \ K ) att den är lika med f på alla G \ K .

Holomorficiteten för denna funktion är identisk med villkoret ∂ v = f ∂ φ . För varje jämn funktion φ , är differentialen (0,1)-formen f ∂ φ ∂ -sluten. Genom att välja φ för att vara en jämn funktion som är identiskt lika med noll på K och identiskt lika med en på komplementet till någon kompakt delmängd L av G , har denna (0,1)-form dessutom kompakt stöd, så att Poincaré-lemmat identifierar ett lämpligt v av kompakt stöd. Detta definierar F som en holomorf funktion på G ; det återstår bara att visa (efter ovanstående kommentarer) att det sammanfaller med f på någon öppen uppsättning.

På mängden C ⁿ \ L är v holomorf eftersom φ är identiskt konstant . Eftersom det är noll nära oändligheten gäller unik fortsättning för att visa att den är identiskt noll på någon öppen delmängd av G \ L . Således, på denna öppna delmängd, är F lika med f och existensdelen av Hartogs sats bevisas. Unikhet är automatisk från unik fortsättning, baserat på anslutning av G .

Motexempel i dimension ett

Satsen håller inte när n = 1 . För att se detta räcker det med att betrakta funktionen f ( z ) = z ⁻¹ , som är tydligt holomorf i C \ {0}, men inte kan fortsättas som en holomorf funktion på hela C . Därför är Hartogs-fenomenet ett elementärt fenomen som belyser skillnaden mellan funktionsteorin för en och flera komplexa variabler.

Anteckningar

Historiska referenser

•     Fuks, BA (1963), Introduktion till teorin om analytiska funktioner för flera komplexa variabler, översättningar av matematiska monografier, vol. 8, Providence, RI: American Mathematical Society , s. vi+374, ISBN 9780821886441 , MR 0168793 , Zbl 0138.30902 .
•     Osgood, William Fogg (1966) [1913], Ämnen i teorin om funktioner för flera komplexa variabler (oförkortad och korrigerad utg.), New York: Dover , s. IV+120, JFM 45.0661.02 , MR 0201668 , Zbl 09018 . .
• Range, R. Michael (2002), "Extension phenomena in multidimensional complex analysis: correction of the historical record",    Mathematical Intelligencer , 24 (2): 4–12, doi : 10.1007/BF03024609 , MR 1907191 , S2525C3ID 9205 The Ett historiskt papper som korrigerar några inexakta historiska uttalanden i teorin om holomorfa funktioner för flera variabler, särskilt när det gäller bidrag från Gaetano Fichera och Francesco Severi .
•    Severi, Francesco ( 1931), "Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , serie 6 (på italienska), 13 : 795–804 57.0393.01 , Zbl 0002.34202 . Detta är det första dokumentet där en generell lösning på Dirichlet-problemet för pluriharmoniska funktioner ges för generella verkliga analytiska data på en verklig analytisk hyperyta . En översättning av titeln lyder som:-" Lösning av det allmänna Dirichlet-problemet för biharmoniska funktioner" .
•   Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (på italienska), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, Zbl 0094.28002 . En översättning av titeln är:-" Föreläsningar om analytiska funktioner för flera komplexa variabler – Föreläst 1956–57 vid Istituto Nazionale di Alta Matematica i Rom" . Denna bok består av föreläsningsanteckningar från en kurs som hölls av Francesco Severi vid Istituto Nazionale di Alta Matematica (som för närvarande bär hans namn), och inkluderar bilagor av Enzo Martinelli , Giovanni Battista Rizza och Mario Benedicty.
•   Struppa, Daniele C. (1988), "The first eighty years of Hartogs' theorem", Seminari di Geometria 1987–1988 , Bologna : Università degli Studi di Bologna – Dipartimento di Matematica, s. 127–209, MR 097369065 , Zbl 39065 , Zbl 39065 , Zbl 39065, Zbl .   .
•    Vladimirov, VS (1966), Ehrenpreis, L. (red.), Metoder för teorin om funktioner för flera komplexa variabler. Med ett förord ​​av NN Bogolyubov , Cambridge - London : The MIT Press , s. XII+353, MR 0201669 , Zbl 0125.31904 ( Zentralblatt recension av den ryska originalutgåvan). En av de första moderna monografierna om teorin om flera komplexa variabler , som skiljer sig från andra från samma period på grund av den omfattande användningen av generaliserade funktioner .

Vetenskapliga referenser

•     Bochner, Salomon (oktober 1943), "Analytisk och meromorfisk fortsättning med hjälp av Greens formel", Annals of Mathematics , Second Series, 44 ( 4): 652–673, doi : 10.2307 /1969103 , JSTOR 0 0 , 9291 069 06 0 , 069 06 06 06 20 Z. 4206 .
•      Bochner, Salomon (1 mars 1952), "Partial Differential Equations and Analytic Continuations", PNAS , 38 (3): 227–230, Bibcode : 1952PNAS...38..227B , doi : 10.1028.2.s.7.pna. , MR 0050119 , PMC 1063536 , PMID 16589083 , Zbl 0046.09902 .
•    Bratti, Giuliano (1986a), "A proposito di un esempio di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs" [Om ett exempel på Fichera angående Hartogs fenomen], Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL , serie 5 (på italienska och engelska) , X (1): 241–246, MR 0879111 , Zbl 0646.35007 , arkiverad från originalet 2011-07-26
•    Bratti, Giuliano (1986b), "Estensione di un teorema di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs per sistemi differenziali a coefficienti costanti" [ Utbyggnad av en sats av Fichera för system av PDE med konstanta koefficienter, angående Hartogs fenomen], Accademia Nallazionale delle Scienze Detta dei XL , serie 5 (på italienska och engelska), X (1): 255–259, MR 0879114 , Zbl 0646.35008 , arkiverad från originalet 2011-07-26
•    Bratti, Giuliano (1988), "Su di un teorema di Hartogs" [On a theorem of Hartogs], Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova (på italienska), 79 : 59–70, MR 0964020 , Zbl 0657.46033
•     Brown, Arthur B. (1936), "On certain analytic continuations and analytic homeomorphisms", Duke Mathematical Journal , 2 : 20–28, doi : 10.1215/S0012-7094-36-00203-X , JFM 62.0396.014 , JFM 62.0396.014 , , Zbl 0013.40701
•    Ehrenpreis, Leon (1961), "A new proof and an extension of Hartog's theorem", Bulletin of the American Mathematical Society , 67 ( 5): 507–509, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10661-7 , MR 0131663 , Zbl 0099.07801 . En grundläggande artikel i teorin om Hartogs fenomen. Det typografiska felet i titeln återges som det förekommer i originalversionen av tidningen.
•    Fichera, Gaetano (1957), "Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più variabili complesse", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche-serien e Naturaliin ( 8) , 22 (6): 706-715, MR 0093597 , Zbl 0106.05202 . En epokgörande uppsats i teorin om CR-funktioner, där Dirichlet-problemet för analytiska funktioner av flera komplexa variabler löses för generella data. En översättning av titeln lyder som:-" Karakterisering av spåret, på gränsen för en domän, av en analytisk funktion av flera komplexa variabler" .
•    Fichera, Gaetano (1983), "Sul fenomeno di Hartogs per gli operatori lineari alle derivate parziali", Rendiconti Dell' Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Scienze Matemàtiche e Applicazioni, Series A. (på italienska), 117 : 199–211, MR 0848259 , Zbl 0603.35013 . En engelsk översättning av titeln lyder som:-" Hartogs fenomen för vissa linjära partiella differentialoperatorer" .
•     Fueter, Rudolf (1939–1940), "Über einen Hartogs'schen Satz" [On a theorem of Hartogs], Commentarii Mathematici Helvetici (på tyska), 12 (1): 75–80, doi : 10.1007/bf01620640 , JFM .0363650 .03 , S2CID 120266425 , Zbl 0022.05802 , arkiverad från originalet 2011-10-02 , hämtad 2011-01-16 . Tillgänglig på SEALS Portal Arkiverad 2012-11-10 på Wayback Machine .
•        Fueter, Rudolf (1941–1942), "Über einen Hartogs'schen Satz in der Theorie der analytischen Funktionen von n komplexen Variablen" [Om en Hartogs teorem i teorin om analytiska funktioner för n komplexa variabler], Commentarii Mathematici Helvetici (i tyska), 14 (1): 394–400, doi : 10.1007/bf02565627 , JFM 68.0175.02 , MR 0007445 , S2CID 122750611 , Zbl 0027 .0570 från originalet 1027.0570d 1027.0570d från originalet 1027.0570d . rived 2011-01-16 ( se även Zbl 0060.24505 , den kumulativa recensionen av flera artiklar av E. Trost). Tillgänglig på SEALS Portal Arkiverad 2012-11-10 på Wayback Machine .
•   Hartogs, Fritz (1906), "Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen." , Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse (på tyska), 36 : 223–242, JFM 37.0443.01 .
•    Hartogs, Fritz (1906a), "Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten" , Mathematische Annalen ( på tyska), 62 : 1:01 1 :41/80/80/81 , JFM 37.0444.01 , S2CID 122134517 . Finns på DigiZeitschriften .
•     Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables , North–Holland Mathematical Library, vol. 7 (3rd (Revised) ed.), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland , ISBN 0-444-88446-7 , MR 1045639 , Zbl 0685.32001 .
•    Kaneko, Akira (12 januari 1973), "Om fortsättningen av reguljära lösningar av partiella differentialekvationer med konstanta koefficienter", Proceedings of the Japan Academy , 49 ( 1): 17–19, doi : 10.3792/pja/1195519488 , 8412MR7 84157 , Zbl 0265.35008 , tillgänglig på Project Euclid .
•     Martinelli, Enzo (1942–1943), "Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs" [ On a proof by R. Fueter of a theorem of Hartogs], Commentarii Mathematici Helvetici (på italienska), 15 (1) : 340–349, doi : 10.1007/bf02565649 , MR 0010729 , S2CID 119960691 , Zbl 0028.15201 , arkiverad från originalet 2011 01-10-02 , hämtad 1-10-6 , hämtad 1-02 . Tillgänglig på SEALS Portal Arkiverad 2012-11-10 på Wayback Machine .
•    Osgood, WF (1929), Lehrbuch der Funktionentheorie. II , Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiet der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (på tyska), vol. Bd. XX - 1 (2:a uppl.), Leipzig: BG Teubner , s. VIII+307, ISBN 9780828401821 , JFM 55.0171.02 .
•    Severi, Francesco (1932), "Una proprietà fondamentale dei campi di olomorfismo di una funzione analitica di una variabile reale e di una variabile complessa", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche , serien e6 Nature, italienska), 15 : 487–490, JFM 58.0352.05 , Zbl 0004.40702 . En engelsk översättning av titeln lyder som:-" En fundamental egenskap för domänen av holomorphy av en analytisk funktion av en reell variabel och en komplex variabel" .
•     Severi, Francesco (1942–1943), "A proposito d'un teorema di Hartogs" [Om en sats från Hartogs], Commentarii Mathematici Helvetici (på italienska), 15 ( 1): 350–352, doi : 10.1007/bf0256565 MR 0010730 , S2CID 120514642 , Zbl 0028.15301 , arkiverad från originalet 2011-10-02 , hämtad 2011-06-25 . Tillgänglig på SEALS Portal Arkiverad 2012-11-10 på Wayback Machine .

externa länkar

• Chirka, EM (2001) [1994], "Hartogs teorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• "misslyckande av Hartogs sats i en dimension" . PlanetMath .
• Hartogs sats vid PlanetMath .
• Bevis för Hartogs sats vid PlanetMath .