Bochner-Martinelli formel

Inom matematiken är Bochner-Martinelli-formeln en generalisering av Cauchy-integralformeln till funktioner av flera komplexa variabler , introducerad av Enzo Martinelli ( 1938 ) och Salomon Bochner ( 1943 ).

Historia

Formel (53) i denna artikel och ett bevis på sats 5 baserat på den har just publicerats av Enzo Martinelli ( ...) . Den nuvarande författaren kan tillåtas att ange att dessa resultat har presenterats av honom i en Princeton- examen vintern 1940/1941 och därefter inkorporerades i en doktorsavhandling i Princeton (juni 1941) av Donald C. May, med titeln: An integral formel för analytiska funktioner för $k$ variabler med vissa tillämpningar.

— Salomon Bochner, ( Bochner 1943 , s. 652, fotnot 1).

Men denna författares påstående i loc. cit. fotnot 1, att han kan ha varit bekant med formelns allmänna form före Martinelli, var helt obefogad och dras härmed tillbaka.

— Salomon Bochner, ( Bochner 1947 , s. 15, fotnot *).

Bochner–Martinelli kärna

För $ζ$ , $z$ i ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} är$ Bochner–Martinelli-kärnan $ω(ζ, z)$ en differentialform i $ζ$ av tvågrad $(n, n -1)$ definierad av

\

(där termen $d ζ j$ är utelämnad).

Antag att $f$ är en kontinuerligt differentierbar funktion vid stängningen av en domän $D$ i $\mathbb {C}$ ⁿ med bitvis jämn gräns $\partial D$ . Sedan säger Bochner–Martinelli-formeln att om $z$ är i domänen $D$ då

\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).

I synnerhet om $f$ är holomorft försvinner den andra termen, alltså

\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).

Se även

Bergman–Weil formel

Anteckningar

Aizenberg, LA; Yuzhakov, AP (1983) [1979], Integral representationer och rester i Multidimensional Complex Analysis , Translations of Mathematical Monographs, vol. 58, Providence RI: American Mathematical Society , s. x+283, ISBN 0-8218-4511-X , MR 0735793 , Zbl 0537.32002 .
Bochner, Salomon (1943), "Analytisk och meromorf fortsättning med hjälp av Greens formel", Annals of Mathematics , Second Series, 44 (4): 652–673, doi : 10.2307/1969103 , ISSN 0003-486X 9 MR 3196 , JSTOR 3196 , 9 0009206 , Zbl 0060.24206 .
Bochner, Salomon (1947), "On compact complex manifolds", The Journal of the Indian Mathematical Society , New Series, 11 : 1–21, MR 0023919 , Zbl 0038.23701 .
Chirka, EM (2001) [1994], "Bochner–Martinelli representationsformel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Krantz, Steven G. (2001) [1992], Funktionsteori för flera komplexa variabler (reprint of 2nd ed.), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, s. xvi+564, doi : 10.1090/chel/340 , ISBN 978 -0-8218-2724-6 , MR 1846625 , Zbl 1087.32001 .
Kytmanov, Alexander M. (1995) [1992], The Bochner-Martinelli integral and its applications , Birkhäuser Verlag , s. xii+305, doi : 10.1007/978-3-0348-9094-6 , ISBN 7643-305 -5240-0 , MR 1409816 , Zbl 0834.32001 .
Kytmanov, Alexander M.; Myslivets , Simona G. ( 2010 ) . , sid . 389, ISBN 978-5-7638-1990-8 , arkiverad från originalet 2014-03-23 .
Kytmanov, Alexander M.; Myslivets, Simona G. (2015), Multidimensionella integralrepresentationer. Problems of analytic continuation , Cham–Heidelberg–New York– Dordrecht –London : Springer Verlag , s. xiii+225, doi : 10.1007/978-3-319-21659-1 , ISBN 978-3-319-21658-4 MR 3381727 , Zbl 1341.32001 , ISBN 978-3-319-21659-1 (e-bok).
Martinelli, Enzo (1938), "Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse" [Några integralsatser för analytiska funktioner för flera komplexa variabler], Atti della Reale Accademia d'Italia. Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (på italienska), 9 (7): 269–283, JFM 64.0322.04 , Zbl 0022.24002 . Det första papper där den nu kallade Bochner-Martinelli-formeln introduceras och bevisas.
Martinelli, Enzo (1942–1943), "Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs" [ On a proof of R. Fueter of a theorem of Hartogs], Commentarii Mathematici Helvetici (på italienska), 15 (1) : 340–349, doi : 10.1007/bf02565649 , MR 0010729 , S2CID 119960691 , Zbl 0028.15201 , arkiverad från originalet 2011-10-02 , hämtad 2011-10-02 - 07-02 hämtad . Tillgänglig på SEALS Portal Arkiverad 2012-11-10 på Wayback Machine . I detta dokument ger Martinelli ett bevis på Hartogs förlängningssats genom att använda Bochner-Martinelli-formeln .
Martinelli, Enzo (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali [ Elementär introduktion till teorin om funktioner hos komplexa variabler med särskilt avseende på integralrepresentationer ], Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Science Matematica Loro Applicazioni (på italienska), vol. 67, Rom: Accademia Nazionale dei Lincei , s. 236+II, arkiverad från originalet 2011-09-27 , hämtad 2011-01-03 . Anteckningarna utgör en kurs, publicerad av Accademia Nazionale dei Lincei , som hölls av Martinelli under hans vistelse på Accademia som " Professore Linceo ".
Martinelli, Enzo (1984b), "Qualche riflessione sulla rappresentazione integrale di massima dimensione per le funzioni di più variabili complesse" [Några reflektioner om den integrerade representationen av maximal dimension för funktioner av flera komplexa variabler], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , Series VIII (på italienska), 76 (4): 235–242, MR 0863486 , Zbl 0599.32002 . I den här artikeln ger Martinelli en annan form till Martinelli–Bochner-formeln.