Pluriharmonisk funktion

Inom matematiken , just i teorin om funktioner för flera komplexa variabler , är en pluriharmonisk funktion en reellt värderad funktion som lokalt är den reella delen av en holomorf funktion av flera komplexa variabler. Ibland hänvisas till en sådan funktion som n -harmonisk funktion , där n ≥ 2 är dimensionen av den komplexa domänen där funktionen är definierad. I moderna utläggningar av funktionsteorin för flera komplexa variabler är det dock att föredra att ge en likvärdig formulering av begreppet, genom att definiera pluriharmonisk funktion en komplex värderad funktion vars begränsning till varje komplex linje är en harmonisk funktion med avseende på den reella och imaginär del av den komplexa linjeparametern.

Formell definition

. Låt $G \subseteq C n$ vara en komplex domän och $f : G \to R$ vara en $C 2$ (två gånger kontinuerligt differentierbar ) funktion. Funktionen $f$ kallas pluriharmonisk if, för varje komplex linje

\{a+bz\mid z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}

bildas genom att använda varje par komplexa tuplar $a, b \in C n$ , funktionen

z\mapsto f(a+bz)

är en harmonisk funktion på setet

\{z\in \mathbb {C} \mid a+bz\in G\}\subset \mathbb {C} .

. Låt $M$ vara ett komplext grenrör och $f : M \to R$ vara en $C 2$ funktion. Funktionen $f$ kallas pluriharmonisk if

dd^{c}f=0.

Grundläggande egenskaper

Varje pluriharmonisk funktion är en harmonisk funktion , men inte tvärtom. Vidare kan det visas att för holomorfa funktioner av flera komplexa variabler är de reella (och de imaginära) delarna lokalt pluriharmoniska funktioner. Men en funktion som är harmonisk i varje variabel separat innebär inte att den är pluriharmonisk.

Se även

Anteckningar

Historiska referenser

Gunning, Robert C. ; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables , Prentice-Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs , NJ: Prentice-Hall , s. xiv+317, ISBN 9780821869536 , MR 01806901 , MR 01806901 .
Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables , Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (andra upplagan), Pacific Grove, Kalifornien : Wadsworth & Brooks/Cole, s. xvi+557, ISBN 0-534 -17088-9 , MR 1162310 , Zbl 0776.32001 .
Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (på franska), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM 20.2370 .
Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (på italienska), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, s. XIV+255, Zbl 0094.28002 . Anteckningar från en kurs som hölls av Francesco Severi vid Istituto Nazionale di Alta Matematica (som för närvarande bär hans namn), som innehåller bilagor av Enzo Martinelli , Giovanni Battista Rizza och Mario Benedicty. En engelsk översättning av titeln lyder som:-" Föreläsningar om analytiska funktioner för flera komplexa variabler – Föreläst 1956–57 vid Istituto Nazionale di Alta Matematica i Rom" .

Amoroso, Luigi (1912), "Sopra un problema al contorno" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (på italienska), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007/BF03015289 , JFM 43.0453.9 1 , S2CID 9 0453.9 0453.9 . Den första artikeln där en uppsättning (ganska komplicerade) nödvändiga och tillräckliga villkor för Dirichletproblemets lösbarhet för holomorfa funktioner av flera variabler ges. En engelsk översättning av titeln lyder som:-" About a boundary value problem ".
Fichera, Gaetano (1982a), "Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche", Atti del Convegno celebrativo dell'80° anniversario della nascita di Renato Calapso, Messina–Taormina, 1–4 april 1981 (på italienska), Libreria Eredi Roma: Virgilio Veschi, s. 127–152, MR 0698973 , Zbl 0958.32504 ." Gränsvärdesproblem för pluriharmoniska funktioner " (engelsk översättning av titeln) behandlar gränsvärdesproblem för pluriharmoniska funktioner: Fichera bevisar ett lösbarhetsvillkor för problemet och recenserar flera tidigare resultat av Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza och Francesco Severi.
Fichera, Gaetano (1982b), "Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R ^{2 n} di un teorema di L. Amoroso", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (på italienska), 52 (1): 23– 34, doi : 10.1007/BF02924996 , MR 0802991 , S2CID 122147246 , Zbl 0569.31006 . En engelsk översättning av titeln lyder som:-" Boundary values of pluriharmonic functions: extension to space R ^{2 n} of a theorem of L. Amoroso ".
Fichera, Gaetano (1982c), "Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (på italienska), 27 : 327–333 , MR 5 0669.01.01.0669 . En engelsk översättning av titeln lyder som:-" On a theorem of L. Amoroso in theory of analytic functions of two complex variables" .
Matsugu, Yasuo (1982), "Pluriharmonic functions as the real parts of holomorphic functions", Memoirs of the Faculty of Science, Kyushu University , Series A, Mathematics, 36 (2): 157–163, doi : 10.2206/kyushumfs.15736. , MR 0676796 , Zbl 0501.32008 .
Nikliborc, Ladislas (30 mars 1925), "Sur les fonctions hyperharmoniques" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences ( på franska), 180 : 1008–1011, JFM 51.0364.02 , tillgänglig på Gallica
Nikliborc, Ladislas (11 januari 1926), "Sur les fonctions hyperharmoniques" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences ( på franska), 182 : 110–112, JFM 52.0498.02 , tillgänglig på Gallica
Rizza, GB (1955), "Dirichlet problem for n -harmonic functions and related geometrical problems" , Mathematische Annalen , 130 : 202–218, doi : 10.1007/BF01343349 , MR 0074881 , S1147881 , 5074881 , 5074881 , 5074881 , 52CID , 602 , 602 , 602 , 602 . , tillgänglig på DigiZeitschirften .

externa länkar

Solomentsev, ED (2001) [1994], "Pluriharmonic function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Den här artikeln innehåller material från pluriharmonic-funktionen på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .